y^prime+3(y-1)=2 x para y(0)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá a equação $ y’ + 3(y - 1) = 2x $ com a condição inicial $ y(0) = 4 $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar fatores integrantes, uma técnica que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos:
y' + 3y - 3 = 2x
Então, colocando no formato padrão:
y' + 3y = 2x + 3
Aqui, $ P(x) = 3 $ e $ Q(x) = 2x + 3 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Como $ P(x) = 3 $, temos:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ e^{3x} $:
e^3x
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
e^3x y' + 3 e^3x y = (2x + 3) e^3x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso simplifica para:
integral ddx ( e^3x y ) dx = integral (2x + 3) e^3x dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral $ \int (2x + 3) e^{3x} dx $ usando integração por partes. Vamos definir:
integral (2x + 3) e^3x dx
Então, derivando e integrando:
u = 2x + 3 e dv = e^3x dx
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
du = 2 dx e v = 13 e^3x
Simplificando:
integral u , dv = uv - integral v , du
A integral restante é:
integral (2x + 3) e^3x dx = (2x + 3) cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 2 dx
Então:
= 2x + 33 e^3x - 23 integral e^3x dx
integral e^3x dx = 13 e^3x + C
= 2x + 33 e^3x - 23 cdot 13 e^3x + C
= 2x + 33 e^3x - 29 e^3x + C
= ( 2x + 33 - 29 ) e^3x + C

Passo 7

Voltando à equação onde integramos:
e^3x y = ( 6x + 79 ) e^3x + C
Para resolver para $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{3x} $:
y
Simplificando:
e^3x

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 4 $ para encontrar $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 4 $:
y(0) = 4
C
x = 0
Resolvendo para $ C $:
y = 4

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = 2x3 + 79 + 299 e^-3x

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