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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá a equação $ y’ + 3(y - 1) = 2x $ com a condição inicial $ y(0) = 4 $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar fatores integrantes, uma técnica que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Então, colocando no formato padrão:
Aqui, $ P(x) = 3 $ e $ Q(x) = 2x + 3 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Como $ P(x) = 3 $, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ e^{3x} $:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral $ \int (2x + 3) e^{3x} dx $ usando integração por partes. Vamos definir:
Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Simplificando:
A integral restante é:
Então:
Passo 7
Voltando à equação onde integramos:
Para resolver para $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{3x} $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 4 $ para encontrar $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 4 $:
Resolvendo para $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: