1. (y^2 sen x) d x+(1 / x-y / x) d y=0, y(pi)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(y^2,sin x),dx +l(tfrac1x-tfracyxr),dy = 0
com a condição inicial y(pi)=1. Vamos ver que essa equação é separável: isolamos dydx e então separamos as variáveis y e x.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
y^2,sin x + l(tfrac1x-tfracyxr)dydx = 0 Longrightarrow dydx = -y^2,sin x,1x-yx, = x,y^2,sin x,y-1,
Agora separamos as variáveis multiplicando por y-1y^2 e por dx:
y-1y^2,dy = x,sin x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral y-1y^2,dy = integrall(1y-1y^2r)dy = ln|y| + 1y,
integral x,sin x,dx oversetpartes= -,xcos x + integralcos x,dx = -,xcos x + sin x
Portanto a solução implícita geral é
ln|y| + 1y = -,xcos x + sin x + C

Passo 4

Usamos y(pi)=1 para achar C:
ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 e -,picospi + sinpi + C = pi + 0 + C
Logo 1 = pi + C, isto é C = 1-pi.

Resposta

A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
boxed ln|y| + 1y = -,xcos x + sin x + 1 - pi

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