Em quais números a seguinte funçăo g é derivável?
g(x)= 2 x & se x <= 0 2 x-x^2 & se 0<x<2 2-x & se x >= 2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
O conteúdo aqui é análise de diferenciabilidade de função por partes. Precisamos verificar que cada ramo é differentiável no interior do respectivo intervalo e depois checar os pontos de junção .

Passo 2

Em cada intervalo aberto a função é polinomial, logo diferenciável.
Para x<0, g(x)=2x tem derivada
g'(x)=2
Para 0<x<2, g(x)=2x-x^2 tem derivada
g'(x)=2-2x
Para x>2, g(x)=2-x tem derivada
g'(x)=-1

Passo 3

Checando x=0:
continuidade:
limxto0^-g(x)=2cdot0=0, limxto0^+g(x)=2cdot0-0^2=0, g(0)=2cdot0=0
derivadas laterais:
g'-(0)=limhto0^-g(0+h)-g(0)h =2, g'+(0)=limhto0^+g(0+h)-g(0)h =2-2cdot0=2
Como g'-(0)=g'+(0), g é diferenciável em x=0.

Passo 4

Checando x=2:
continuidade:
limxto2^-g(x)=2cdot2-2^2=0, limxto2^+g(x)=2-2=0, g(2)=2-2=0
derivadas laterais:
g'-(2)=2-2cdot2=-2, g'+(2)=-1
Como -2neq-1, g não é diferenciável em x=2.

Resposta

A função g é diferenciável para todo xinR exceto em x=2.

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