Sejam X e Y integráveis. Prove que X e Y-E(Y / X) são não correlacionadas.

Passo 1

O enunciado dá que X e Y são integráveis (isto é, \mathbb{E}|X|<\infty e \mathbb{E}|Y|<\infty). Pede-se para provar que X e Y-\mathbb{E}(Y\mid X) são não correlacionadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • X e Y são variáveis aleatórias integráveis.
  • \mathbb{E}(Y\mid X) denota a esperança condicional de Y dado X (uma variável aleatória mensurável em relação à \sigma-álgebra gerada por X).
  • “Não correlacionadas” significa que a covariância entre as duas variáveis é zero.

Passo 2

Definição e objetivo concreto. Vou traduzir o que precisamos mostrar em fórmulas: dizer que X e Y-\mathbb{E}(Y\mid X) são não correlacionadas é o mesmo que provar
\mathrm{Cov}\bigl(X,\;Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)=0.
Lembre: para variáveis integráveis a covariância é
\mathrm{Cov}(U,V)=\mathbb{E}[UV]-\mathbb{E}[U]\mathbb{E}[V].
Aplicando isso aqui, podemos escrever a covariância que queremos como
\mathrm{Cov}\bigl(X,\;Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr) =\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\bigr] -\mathbb{E}[X]\;\mathbb{E}\bigl[Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr].
Portanto, se mostrarmos que \mathbb{E}\bigl[Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr]=0 e que \mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\bigr]=0, teremos a covariância nula.

Passo 3

Provar que \mathbb{E}\bigl[Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr]=0. Use a propriedade básica da esperança condicional (a “propriedade da esperança total” ou tower property):
\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr]=\mathbb{E}[Y].
Daí
\mathbb{E}\bigl[Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr]=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr]=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0.
Logo a segunda parcela da expressão da covariância é \mathbb{E}[X]\cdot 0=0.

Passo 4

Reduzimos a covariância à forma
\mathrm{Cov}\bigl(X,\;Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr) =\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\bigr].
Então basta provar que
\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\bigr]=0.

Passo 5

Usar a propriedade de linearidade da esperança condicional e o fato de que X é mensurável em relação a \sigma(X). Primeiro, aplique a lei da expectativa iterada (ou "fazer expectativa condicionando em X"):
\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\bigr] =\mathbb{E}\Bigl[\,\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\mid X\bigr]\,\Bigr].
Dentro da esperança condicional, como condicionamos por X, a variável X pode ser tratada como constante (mais precisamente: é \sigma(X)-mensurável), então podemos “fatorá-la” para fora da condicional:
\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\mid X\bigr] = X\;\mathbb{E}\bigl[Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\mid X\bigr].

Passo 6

Agora use a propriedade de idempotência da esperança condicional: se Z é qualquer variável integrável, então \mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(Z\mid X)\mid X\bigr]=\mathbb{E}(Z\mid X). Aplicando isso com Z=Y, obtemos
\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(Y\mid X)\mid X\bigr]=\mathbb{E}(Y\mid X).
Por linearidade,
\mathbb{E}\bigl[Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\mid X\bigr] =\mathbb{E}(Y\mid X)-\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(Y\mid X)\mid X\bigr]=0.
Substituindo na expressão do Passo 5:
\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\mid X\bigr]=X\cdot 0=0.

Passo 7

Finalmente, tomando a esperança externa (lembrando do Passo 5),
\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\bigr] =\mathbb{E}\bigl[\,\mathbb{E}\bigl[X\bigl(Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)\mid X\bigr]\,\bigr] =\mathbb{E}[0]=0.
Portanto
\mathrm{Cov}\bigl(X,\;Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)=0,
ou seja, X e Y-\mathbb{E}(Y\mid X) são não correlacionadas.

Resposta

\mathrm{Cov}\bigl(X,\;Y-\mathbb{E}(Y\mid X)\bigr)=0

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