Sejam
e
integráveis. Prove que
e
são não correlacionadas.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são integráveis (isto é,
e
). Pede-se para provar que
e
são não correlacionadas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
e são variáveis aleatórias integráveis. -
denota a esperança condicional de dado (uma variável aleatória mensurável em relação à -álgebra gerada por ). - “Não correlacionadas” significa que a covariância entre as duas variáveis é zero.
Passo 2
Definição e objetivo concreto. Vou traduzir o que precisamos mostrar em fórmulas: dizer que
e
são não correlacionadas é o mesmo que provar
Lembre: para variáveis integráveis a covariância é
Aplicando isso aqui, podemos escrever a covariância que queremos como
Portanto, se mostrarmos que
e que
, teremos a covariância nula.
Passo 3
Provar que
. Use a propriedade básica da esperança condicional (a “propriedade da esperança total” ou tower property):
Daí
Logo a segunda parcela da expressão da covariância é
.
Passo 4
Reduzimos a covariância à forma
Então basta provar que
Passo 5
Usar a propriedade de linearidade da esperança condicional e o fato de que
é mensurável em relação a
. Primeiro, aplique a lei da expectativa iterada (ou "fazer expectativa condicionando em
"):
Dentro da esperança condicional, como condicionamos por
, a variável
pode ser tratada como constante (mais precisamente: é
-mensurável), então podemos “fatorá-la” para fora da condicional:
Passo 6
Agora use a propriedade de idempotência da esperança condicional: se
é qualquer variável integrável, então
. Aplicando isso com
, obtemos
Por linearidade,
Substituindo na expressão do Passo 5:
Passo 7
Finalmente, tomando a esperança externa (lembrando do Passo 5),
Portanto
ou seja,
e
são não correlacionadas.