y=x^53-raizx no ponto de abscissa x=64.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a reta tangente à curva definida por y = x^5/3 - raizx no ponto em que x = 64. Vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular da reta e, depois, a fórmula da reta tangente. Precisamos do valor de y(64) e de y'(64).

Passo 2

Para encontrar o coeficiente angular usamos a derivada de y. Lembre-se de que, para potências, ddxx^m = m,x^m-1. Assim:
y' = ddxl(x^5/3r) - ddxl(x^1/2r) = 53x^tfrac53-1 - 12 x^tfrac12-1 = 53x^2/3 - 12x^-1/2

Passo 3

Agora avaliamos em x=64. Note que 64^1/3=4, logo 64^2/3=4^2=16 e 64^-1/2=1/raiz64=1/8. Então:
y'(64)= 53cdot16 - 12cdot18 = 803 - 116 = 80cdot16 - 348 = 1280 - 348 = 127748

Passo 4

Precisamos agora do ponto exato. Calculamos y(64):
$$y(64)=64{5/3}-\sqrt{64}=\bigl(64{1/3}\bigr)^5 - 8=4^5-8=1024-8=1016.
$$
Portanto o ponto é y(64)=64^5/3-raiz64=l(64^1/3r)^5 - 8=4^5-8=1024-8=1016 e o coeficiente angular é (64,1016).

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (x0,y0)=(64,1016) com coeficiente m=1277/48 vem da fórmula
$$y - y_0 = m,(x - x_0).
y - y0 = m,(x - x0) y - 1016 = \frac{1277}{48},(x - 64).
$$

Resposta

A reta tangente é
$$y - 1016 = \frac{1277}{48}(x - 64).
$$

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