no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a reta tangente à curva definida por
no ponto em que
. Vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular da reta e, depois, a fórmula da reta tangente. Precisamos do valor de
e de
.
Passo 2
Para encontrar o coeficiente angular usamos a derivada de
. Lembre-se de que, para potências,
. Assim:
Passo 3
Agora avaliamos em
. Note que
, logo
e
. Então:
Passo 4
Precisamos agora do ponto exato. Calculamos
:
$$y(64)=64{5/3}-\sqrt{64}=\bigl(64{1/3}\bigr)^5 - 8=4^5-8=1024-8=1016.
$$
Portanto o ponto é e o coeficiente angular é
.
Portanto o ponto é
Passo 5
A equação da reta tangente no ponto
com coeficiente
vem da fórmula
$$y - y_0 = m,(x - x_0).
$$
Resposta
A reta tangente é
$$y - 1016 = \frac{1277}{48}(x - 64).
$$