Para y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x e y3(x)=x e^x, calcule o Wronskiano e indique os intervalos em que as funções são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá três funções
y1(x)=e^x,;y2(x)=e^-x,;y3(x)=x,e^x
e pede o Wronskiano delas e os intervalos em que são linearmente independentes. Vamos usar a definição de Wronskiano de três funções e mostrar que ele nunca se anula em R.

Passo 2

Calculemos as derivadas de primeira e segunda ordem:
y1'(x)=e^x, y2'(x)=-e^-x, y3'(x)=e^x+x,e^x,
y1''(x)=e^x, y2''(x)=e^-x, y3''(x)=2,e^x+x,e^x

Passo 3

O Wronskiano W(x) é o determinante
W(x)= det y1(x) & y2(x) & y3(x)[6pt] y1'(x) & y2'(x) & y3'(x)[6pt] y1''(x) & y2''(x) & y3''(x) = det e^x & e^-x & x,e^x e^x & -e^-x & e^x+x,e^x e^x & e^-x & 2,e^x+x,e^x ]

Passo 4

Note que da primeira coluna e da terceira coluna podemos fatorar e^x e da segunda coluna e^-x. Logo
W(x)=e^x,l(e^-xr),e^x, det 1 & 1 & x 1 & -1 & x+1 1 & 1 & x+2 = e^x,det A,
onde
A= 1 & 1 & x 1 & -1 & x+1 1 & 1 & x+2

Passo 5

Calculemos det A por expansão na primeira linha:
det A =1det-1 & x+11 & x+2 -1det1 & x+11 & x+2 +xdet1 & -11 & 1
Isso dá
det A =l[-(x+2)-(x+1)r];-;(x+2 - (x+1));+;x(1+1) =-2x-3 -1 +2x = -4
Portanto
W(x)=e^x,(-4) = -4,e^x

Passo 6

Como W(x)=-4e^x é nunca nulo para todo xinR, concluímos que y1,y2,y3 são linearmente independentes em qualquer intervalo de R.

Resposta

O Wronskiano é
W(x)=-4,e^x,
que não se anula em R. Logo as funções são linearmente independentes em todo R.

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