Para e , calcule o Wronskiano e indique os intervalos em que as funções são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá três funções
e pede o Wronskiano delas e os intervalos em que são linearmente independentes. Vamos usar a definição de Wronskiano de três funções e mostrar que ele nunca se anula em .
Passo 2
Calculemos as derivadas de primeira e segunda ordem:
Passo 3
O Wronskiano é o determinante
]
Passo 4
Note que da primeira coluna e da terceira coluna podemos fatorar e^x e da segunda coluna e^-x. Logo
W(x)=e^x,l(e^-xr),e^x, det 1 & 1 & x 1 & -1 & x+1 1 & 1 & x+2 = e^x,det A,
onde
A= 1 & 1 & x 1 & -1 & x+1 1 & 1 & x+2
Passo 5
Calculemos det A por expansão na primeira linha:
det A =1det-1 & x+11 & x+2 -1det1 & x+11 & x+2 +xdet1 & -11 & 1
Isso dá
det A =l[-(x+2)-(x+1)r];-;(x+2 - (x+1));+;x(1+1) =-2x-3 -1 +2x = -4
Portanto
W(x)=e^x,(-4) = -4,e^x
Passo 6
Como W(x)=-4e^x é nunca nulo para todo xinR, concluímos que y1,y2,y3 são linearmente independentes em qualquer intervalo de R.
Resposta
O Wronskiano é
W(x)=-4,e^x,
que não se anula em R. Logo as funções são linearmente independentes em todo R.