Dadas e , encontre Wronskiano e verifique se as funções são linearmente independentes em .
Passo 1
O enunciado fornece as funções , e . O conteúdo aqui é o cálculo do Wronskiano de três funções e o teste de independência linear numa reta. Para isso, vamos usar a definição do Wronskiano como determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas derivadas até a ordem 2.
Passo 2
A definição do Wronskiano de três funções é
Passo 3
Calculamos as derivadas: ,y1'=0, ,y1''=0; ,y2'=1, ,y2''=0; ,y3'=2x, ,y3''=2.
Substituindo na matriz, temos
W(y1,y2,y3)(x) = 1 & x & x^2 0 & 1 & 2x 0 & 0 & 2
Esse determinante é triangular, logo seu valor é o produto dos elementos da diagonal principal:
W(y1,y2,y3)(x)=1cdot1cdot2=2
Passo 4
Como ,W(y1,y2,y3)(x)=2neq0 para todo xinR, pelo critério do Wronskiano as funções são linearmente independentes em R.
Resposta
W(y1,y2,y3)(x)=2, e as funções são linearmente independentes em R.