Dadas y1(x)=1, y2(x)=x e y3(x)=x^2, encontre o Wronskiano W(y1, y2, y3)(x) e verifique se as funções são linearmente independentes em R.

Passo 1

O enunciado fornece as funções ,y1(x)=1, ,y2(x)=x e ,y3(x)=x^2. O conteúdo aqui é o cálculo do Wronskiano de três funções e o teste de independência linear numa reta. Para isso, vamos usar a definição do Wronskiano como determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas derivadas até a ordem 2.

Passo 2

A definição do Wronskiano de três funções y1,y2,y3 é
W(y1,y2,y3)(x) =det y1(x) & y2(x) & y3(x) y1'(x) & y2'(x) & y3'(x) y1''(x) & y2''(x) & y3''(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas:
,y1'=0, ,y1''=0;
,y2'=1, ,y2''=0;
,y3'=2x, ,y3''=2.
Substituindo na matriz, temos
W(y1,y2,y3)(x) = 1 & x & x^2 0 & 1 & 2x 0 & 0 & 2
Esse determinante é triangular, logo seu valor é o produto dos elementos da diagonal principal:
W(y1,y2,y3)(x)=1cdot1cdot2=2

Passo 4

Como ,W(y1,y2,y3)(x)=2neq0 para todo xinR, pelo critério do Wronskiano as funções são linearmente independentes em R.

Resposta

W(y1,y2,y3)(x)=2, e as funções são linearmente independentes em R.

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