seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de
e
, de modo que a equação diferencial
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve as variáveis $ z $ e $ y $. A missão é encontrar os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ que fazem essa equação ser exata. Depois disso, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, precisamos entender o que significa uma equação ser exata e como aplicar as condições necessárias para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação que multiplicam $ dz $ e $ dy $. Vamos chamar essas partes de $ M $ e $ N $ respectivamente. Ou seja:
Passo 3
Agora, para que a equação seja exata, ela precisa satisfazer a condição de exatidão. Isso significa que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ deve ser igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ z $. Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de $ M $ em relação a $ y $:
Depois, a derivada de $ N $ em relação a $ z $. Observando $ N $, percebemos que ele não depende de $ z $ (não há $ z $ na expressão de $ N $), então:
Passo 5
Igualando as duas derivadas para satisfazer a condição de exatidão:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de $ x $ e $ y $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
No entanto, percebemos que algo está errado. A condição de exatidão para uma equação envolvendo $ dz $ e $ dy $ é diferente. Vamos reavaliar.
Passo 6
Na verdade, para uma equação diferencial envolvendo $ dz $ e $ dy $, a condição de exatidão é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ z $, que já vimos que é zero. Então, de fato, para que a equação seja exata, $ M $ deve ser tal que sua derivada parcial em relação a $ y $ seja zero:
Isso só é possível se todos os coeficientes forem zero:
Passo 7
Parece que houve um equívoco na formulação da equação. Para que a condição de exatidão seja possível, a equação deve envolver as mesmas variáveis de forma consistente. Se considerarmos que a equação deveria envolver $ dx $ e $ dy $, podemos reavaliar:
Vamos supor que houve um erro e a variável $ z $ deveria ser $ x $. Assim, teríamos:
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Calculando:
Igualando as derivadas:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todos $ x $ e $ y $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Para o termo $ x $:
Para o termo $ x^{2} y $:
Resposta
Os valores que tornam a equação exata são $ \alpha = -4 $ e $ \beta = 10 $. A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde $ C $ é a constante de integração.