(9 x^2 y+beta y^2 gamma x y^3-2) d x+(alpha x^3-6 x^2 y^2+gamma x y+3) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de alpha e beta, de modo que a equação diferencial
(y^3+alpha x y+15 x^2 y^2-4) d z+(3 x y^2-2 x^2+beta x^3 y+7) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve as variáveis $ z $ e $ y $. A missão é encontrar os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ que fazem essa equação ser exata. Depois disso, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, precisamos entender o que significa uma equação ser exata e como aplicar as condições necessárias para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação que multiplicam $ dz $ e $ dy $. Vamos chamar essas partes de $ M $ e $ N $ respectivamente. Ou seja:
dz
dy

Passo 3

Agora, para que a equação seja exata, ela precisa satisfazer a condição de exatidão. Isso significa que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ deve ser igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ z $. Matematicamente, isso é expresso como:
M

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de $ M $ em relação a $ y $:
M
Depois, a derivada de $ N $ em relação a $ z $. Observando $ N $, percebemos que ele não depende de $ z $ (não há $ z $ na expressão de $ N $), então:
y

Passo 5

Igualando as duas derivadas para satisfazer a condição de exatidão:
3y^2 + alpha x + 30 x^2 y = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de $ x $ e $ y $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
x í
y
3y^2 = 0 Rightarrow 3 = 0 (impossível) éí
No entanto, percebemos que algo está errado. A condição de exatidão para uma equação envolvendo $ dz $ e $ dy $ é diferente. Vamos reavaliar.

Passo 6

Na verdade, para uma equação diferencial envolvendo $ dz $ e $ dy $, a condição de exatidão é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ z $, que já vimos que é zero. Então, de fato, para que a equação seja exata, $ M $ deve ser tal que sua derivada parcial em relação a $ y $ seja zero:
dz
Isso só é possível se todos os coeficientes forem zero:
dy ãçã
M
y éí

Passo 7

Parece que houve um equívoco na formulação da equação. Para que a condição de exatidão seja possível, a equação deve envolver as mesmas variáveis de forma consistente. Se considerarmos que a equação deveria envolver $ dx $ e $ dy $, podemos reavaliar:
Vamos supor que houve um erro e a variável $ z $ deveria ser $ x $. Assim, teríamos:
dx
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
dy
Calculando:
z
x
(y^3 + alpha x y + 15 x^2 y^2 - 4) dx + (3 x y^2 - 2 x^2 + beta x^3 y + 7) dy = 0
partial Mpartial y = partial Npartial x
Igualando as derivadas:
M = y^3 + alpha x y + 15 x^2 y^2 - 4
Simplificando:
partial Mpartial y = 3y^2 + alpha x + 30 x^2 y
Para que isso seja válido para todos $ x $ e $ y $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Para o termo $ x $:
N = 3 x y^2 - 2 x^2 + beta x^3 y + 7
Para o termo $ x^{2} y $:
partial Npartial x = 3 y^2 - 4x + 3 beta x^2 y

Resposta

Os valores que tornam a equação exata são $ \alpha = -4 $ e $ \beta = 10 $. A solução geral da equação diferencial é dada por:
alpha = -4
onde $ C $ é a constante de integração.

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