em que:
-
-
.
a) Determine analiticamente (via transformada Z)
, em função de
, e obtenha os valores de
, para
;
a) Determine analiticamente (via transformada Z)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação de diferença:
onde a entrada
é definida assim:
Também sabemos que as condições iniciais são
e
. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação usando a Transformada Z para encontrar
em função de
e calcular os valores de
para
de 0 a 4.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada Z em toda a equação de diferença. A Transformada Z é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a transformar equações no domínio do tempo (ou seja, com índices
) para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Lembrando que a Transformada Z de
é
, e usando as propriedades das Transformadas Z para deslocamentos no tempo, temos:
Aplicando isso na nossa equação:
onde
é a Transformada Z de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais na equação. Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Agora, precisamos encontrar
, a Transformada Z de
. Como
é 0 para
e 1 para
, sua Transformada Z é:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação anterior:
Para resolver para
, dividimos ambos os lados pela expressão do polinômio:
Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da Transformada Z. Primeiro, fatoramos o polinômio quadrático:
Isso pode ser fatorado como:
Então, temos:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos realizar a Transformada Z inversa de
. Vamos usar frações parciais para decompor
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação para resolver os coeficientes
,
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Z inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
para
. Então:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando todos os termos:
Resposta
A solução analítica para
é:
Calculando os valores para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os valores de
para
são: