y[k+2]-0,75 y[k+1]+0,125 y[k]=e[k],
em que:
  • e[k]=l0, para k=0, 1, para k >= 1 ;
  • y[0]=y[1]=0.
    a) Determine analiticamente (via transformada Z) y[k], em função de k, e obtenha os valores de y[k], para 0 <= k <= 4;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação de diferença:
y[k+2] - 0,75,y[k+1] + 0,125,y[k] = e[k],
onde a entrada e[k] é definida assim:
e[k] = 0, & para k=0, 1, & para k >= 1
Também sabemos que as condições iniciais são y[0] = 0 e y[1] = 0. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação usando a Transformada Z para encontrar y[k] em função de k e calcular os valores de y[k] para k de 0 a 4.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada Z em toda a equação de diferença. A Transformada Z é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a transformar equações no domínio do tempo (ou seja, com índices k) para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Lembrando que a Transformada Z de y[k] é Y(z), e usando as propriedades das Transformadas Z para deslocamentos no tempo, temos:
Zy[k+1] = z,Y(z) - y[0],
Zy[k+2] = z^2,Y(z) - z,y[0] - y[1]
Aplicando isso na nossa equação:
z^2,Y(z) - z,y[0] - y[1] - 0,75,(z,Y(z) - y[0]) + 0,125,Y(z) = E(z),
onde E(z) é a Transformada Z de e[k].

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais na equação. Sabemos que y[0] = 0 e y[1] = 0, então:
z^2,Y(z) - 0 - 0 - 0,75,z,Y(z) + 0,75, cdot 0 + 0,125,Y(z) = E(z)
Simplificando:
(z^2 - 0,75,z + 0,125),Y(z) = E(z)
Agora, precisamos encontrar E(z), a Transformada Z de e[k]. Como e[k] é 0 para k=0 e 1 para k >= 1, sua Transformada Z é:
E(z) = sumk=0^infty e[k],z^-k = sumk=1^infty z^-k = z^-11 - z^-1 = 1z - 1

Passo 4

Agora, substituímos E(z) na equação anterior:
(z^2 - 0,75,z + 0,125),Y(z) = 1z - 1
Para resolver para Y(z), dividimos ambos os lados pela expressão do polinômio:
Y(z) = 1(z^2 - 0,75,z + 0,125)(z - 1)
Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da Transformada Z. Primeiro, fatoramos o polinômio quadrático:
z^2 - 0,75,z + 0,125 = (z - 0,752)^2 - (0,75^24 - 0,125) = (z - 0,375)^2 - 0,015625
Isso pode ser fatorado como:
(z - 0,5)(z - 0,25)
Então, temos:
Y(z) = 1(z - 0,5)(z - 0,25)(z - 1)

Passo 5

Para encontrar y[k], precisamos realizar a Transformada Z inversa de Y(z). Vamos usar frações parciais para decompor Y(z):
Y(z) = Az - 1 + Bz - 0,5 + Cz - 0,25
Multiplicando ambos os lados por (z - 1)(z - 0,5)(z - 0,25) para eliminar os denominadores:
1 = A(z - 0,5)(z - 0,25) + B(z - 1)(z - 0,25) + C(z - 1)(z - 0,5)
Agora, escolhemos valores de z que simplifiquem a equação para resolver os coeficientes A, B e C.
  1. Para z = 1:
1 = A(1 - 0,5)(1 - 0,25) Rightarrow 1 = A(0,5)(0,75) Rightarrow A = 10,375 = 83
  1. Para z = 0,5:
1 = B(0,5 - 1)(0,5 - 0,25) Rightarrow 1 = B(-0,5)(0,25) Rightarrow B = 1-0,125 = -8
  1. Para z = 0,25:
1 = C(0,25 - 1)(0,25 - 0,5) Rightarrow 1 = C(-0,75)(-0,25) Rightarrow C = 10,1875 = 163
Então:
Y(z) = 8/3z - 1 - 8z - 0,5 + 16/3z - 0,25

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Z inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Z^-11z - a = a^k,
para k >= 0. Então:
  1. Para 8/3z - 1:
Z^-18/3z - 1 = 83 cdot 1^k = 83
  1. Para -8z - 0,5:
Z^-1-8z - 0,5 = -8 cdot (0,5)^k
  1. Para 16/3z - 0,25:
Z^-116/3z - 0,25 = 163 cdot (0,25)^k
Somando todos os termos:
y[k] = 83 - 8 cdot (0,5)^k + 163 cdot (0,25)^k

Resposta

A solução analítica para y[k] é:
y[k] = 83 - 8 cdot (12)^k + 163 cdot (14)^k
Calculando os valores para 0 <= k <= 4:
  • Para k = 0:
y[0] = 83 - 8 cdot 1 + 163 cdot 1 = 83 - 8 + 163 = 243 - 8 = 8 - 8 = 0
  • Para k = 1:
y[1] = 83 - 8 cdot 12 + 163 cdot 14 = 83 - 4 + 43 = 123 - 4 = 4 - 4 = 0
  • Para k = 2:
y[2] = 83 - 8 cdot 14 + 163 cdot 116 = 83 - 2 + 13 = 93 - 2 = 3 - 2 = 1
  • Para k = 3:
y[3] = 83 - 8 cdot 18 + 163 cdot 164 = 83 - 1 + 16192 = 83 - 1 + 112 = 3212 - 1212 + 112 = 2112 = 1,75
  • Para k = 4:
y[4] = 83 - 8 cdot 116 + 163 cdot 1256 = 83 - 0,5 + 16768 = 83 - 0,5 + 148 approx 2,6667 - 0,5 + 0,0208 approx 2,1875
Então, os valores de y[k] para 0 <= k <= 4 são:
y[0] = 0, y[1] = 0, y[2] = 1, y[3] = 1,75, y[4] approx 2,1875

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