Se z=1-\imath e w=4 h, expresse os seguintes números na forma algébrica x+y i :
4 z+i w z-z \bar{w}^{7}.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z e w e pede para escrever o número
4 z + \imath\, w\, z - z\,\overline{w}^{7}
na forma algébrica x+y\imath. As informações fornecidas são:
z = 1 - \imath,
w = 4\imath.
(Na expressão do enunciado eu interpretei o símbolo estranhamente escrito como 4\\ h como 4\imath; a resolução a seguir usa w=4\imath.)

Passo 2

Relembrando duas propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
  • Conjugado: se a+ b\imath é um número complexo, então o conjugado é \overline{a+b\imath}=a-b\imath. Então, por exemplo, o conjugado de 4\imath é -4\imath.
  • Potências de \imath: a sequência das potências de \imath é periódica de período 4:
\imath^0=1,\quad \imath^1=\imath,\quad \imath^2=-1,\quad \imath^3=-\imath,\quad \imath^4=1,
e para potências maiores usamos essa repetição (por exemplo, \imath^7=\imath^{4+3}=\imath^3=-\imath). Essas duas ideias bastam para calcular \overline{w}^{7}.

Passo 3

Calcular \overline{w}. Como w=4\imath, pelo conjugado:
\overline{w} = \overline{4\imath} = -4\imath.

Passo 4

Calcular \overline{w}^{7}. Usamos \overline{w}=-4\imath, então
\overline{w}^{7}=(-4\imath)^{7}=(-4)^{7}\,\imath^{7}.
Agora (-4)^{7}=-(4^{7}) e \imath^{7}=\imath^{4+3}=\imath^{3}=-\imath. Portanto
\overline{w}^{7}=-(4^{7})(-\,\imath)=4^{7}\imath.
Calculando 4^{7}: 4^{2}=16, 4^{3}=64, 4^{4}=256, 4^{5}=1024, 4^{6}=4096, 4^{7}=16384. Assim
\overline{w}^{7}=16384\,\imath.

Passo 5

Calcular cada termo separadamente, com contas bem mostradas.
  1. Primeiro termo: 4z.
4z = 4(1-\imath)=4-4\imath.
  1. Segundo termo: \imath\, w\, z.
\imath\, w\, z = \imath\cdot(4\imath)\cdot(1-\imath).
Multiplicando \imath\cdot4\imath = 4\imath^{2}=4(-1)=-4. Então
\imath\, w\, z = -4(1-\imath) = -4 + 4\imath.
  1. Terceiro termo: z\,\overline{w}^{7}.
z\,\overline{w}^{7} = (1-\imath)\cdot(16384\imath).
Distribuindo:
(1-\imath)(16384\imath)=16384\imath -16384\imath^{2}.
Usando \imath^{2}=-1, obtemos
16384\imath -16384(-1)=16384\imath +16384 = 16384 + 16384\imath.

Passo 6

Agora juntamos os termos na expressão pedida:
4 z + \imath\, w\, z - z\,\overline{w}^{7} = (4-4\imath) + (-4+4\imath) - (16384 + 16384\imath).
Somando os dois primeiros termos:
(4-4\imath)+(-4+4\imath)=0+0\imath=0.
Subtraindo o terceiro termo:
0 - (16384 + 16384\imath) = -16384 -16384\imath.
Portanto o número na forma algébrica x+y\imath é -16384 -16384\imath. Podemos também escrever fatorando:
-16384(1+\imath),
mas a forma x+y\imath explícita é -16384 -16384\imath.

Resposta

-16384 -16384\imath

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