Se z=1-\imath e w=4 h, expresse os seguintes números na forma algébrica x+y i : 4 z+i w z-z \bar{w}^{7}.
Passo 1
O enunciado dá os números complexos z e w e pede para escrever o número
4 z + \imath\, w\, z - z\,\overline{w}^{7}
na forma algébrica x+y\imath. As informações fornecidas são:
z = 1 - \imath,
w = 4\imath.
(Na expressão do enunciado eu interpretei o símbolo estranhamente escrito como 4\\ h como 4\imath; a resolução a seguir usa w=4\imath.)
Passo 2
Relembrando duas propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
Conjugado: se a+ b\imath é um número complexo, então o conjugado é \overline{a+b\imath}=a-b\imath. Então, por exemplo, o conjugado de 4\imath é -4\imath.
Potências de \imath: a sequência das potências de \imath é periódica de período 4:
e para potências maiores usamos essa repetição (por exemplo, \imath^7=\imath^{4+3}=\imath^3=-\imath). Essas duas ideias bastam para calcular \overline{w}^{7}.
Passo 3
Calcular \overline{w}. Como w=4\imath, pelo conjugado:
\overline{w} = \overline{4\imath} = -4\imath.
Passo 4
Calcular \overline{w}^{7}. Usamos \overline{w}=-4\imath, então