3- Se z=raizx^2+y^2, e x=2 t+1, e y=t^3, use a regra da cadeia para obter d zd t.

Passo 1

O enunciado dá
z = raizx^2 + y^2,
com as parametrizações
x = 2t + 1, y = t^3,
e pede dzdt. O conteúdo é derivada de função composta e vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
z = (u)^1/2, onde u = x^2 + y^2
Pela regra da cadeia,
dzdt = dzdu,dudt

Passo 3

Como z = u^1/2, temos
dzdu = 12u^-1/2
E
dudt = ddtl(x^2 + y^2r) = 2x,dxdt + 2y,dydt

Passo 4

Derivamos x e y em relação a t:
dxdt = 2, dydt = 3t^2
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dudt = 2xcdot 2 + 2ycdot 3t^2 = 4x + 6t^2 y

Passo 5

Substituindo em dzdt = 12u^-1/2,l(4x+6t^2yr) e lembrando u = x^2+y^2, obtemos
dzdt = 4x + 6t^2y2raizx^2 + y^2

Passo 6

Finalmente inserimos x = 2t+1 e y = t^3:
4x + 6t^2y = 4(2t+1) + 6t^2cdot t^3 = 8t + 4 + 6t^5 = 6t^5 + 8t + 4,
raizx^2+y^2 = raiz(2t+1)^2 + t^6
Assim,
dzdt = 6t^5 + 8t + 42raiz(2t+1)^2 + t^6 = 3t^5 + 4t + 2raiz(2t+1)^2 + t^6

Resposta

dzdt = 3t^5 + 4t + 2raiz(2t+1)^2 + t^6

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