Resolva as edols:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=4 e^-x

Passo 1

Temos a equação diferencial ordinária (EDO)
y'' - 3y' + 2y = 4e^-x
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
yh'' - 3yh' + 2yh = 0
A equação característica associada é
r^2 - 3r + 2 = 0
que fatora em (r-1)(r-2)=0, logo as raízes são r=1 e r=2. Assim, a solução geral da homogênea é
yh = C1e^x + C2e^2x

Passo 3

Para obter uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo não homogêneo é 4e^-x, então tentamos
yp = A,e^-x
Calculando as derivadas:
yp' = -A,e^-x, yp'' = A,e^-x
Substituindo na equação diferencial:
yp'' - 3yp' + 2yp = A,e^-x - 3(-A,e^-x) + 2(A,e^-x) = (1 + 3 + 2)A,e^-x = 6A,e^-x
Igualando ao lado direito 4e^-x temos 6A,e^-x = 4e^-x, de onde
A = 46 = 23
Portanto
yp = 23e^-x

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = C1e^x + C2e^2x + 23e^-x

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^2x + 23e^-x

Exercícios relacionados