Se Z \sim N(0,1), calcule:
P(-1,5 leq Z leq 0,8).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória Z com distribuição normal padrão e pede a probabilidade
P(-1,5 \leq Z \leq 0,8).
Informações relevantes que temos:
  • Z\sim N(0,1), ou seja, média 0 e desvio-padrão 1.
  • Queremos a probabilidade de Z ficar entre -1,5 e 0,8.
    Nada mais é fornecido; o objetivo é calcular essa probabilidade usando as propriedades da normal padrão e a tabela (ou valores) da função de distribuição acumulada.

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar: seja \Phi(x) a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é,
\Phi(x)=P(Z\leq x).
Para qualquer a<b vale a identidade simples
P(a\leq Z\leq b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Aqui vamos aplicar com a=-1,5 e b=0,8:
P(-1,5\leq Z\leq 0,8)=\Phi(0,8)-\Phi(-1,5).
Explico: \Phi(b) dá a probabilidade acumulada até b e \Phi(a) até a; a diferença é a probabilidade entre a e b.

Passo 3

Como obter \Phi(0,8): a tabela da normal padrão (ou calculadora) dá o valor acumulado em 0,8. Lendo a tabela padrão, encontra-se
\Phi(0,8)=0,7881.
Interpretação prática: há cerca de 78,81\% de chance de Z ser menor ou igual a 0,8.

Passo 4

Como obter \Phi(-1,5) usando simetria: para a normal padrão vale a propriedade
\Phi(-x)=1-\Phi(x).
Então
\Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5).
Da tabela padrão encontramos \Phi(1,5)=0,9332. Portanto
\Phi(-1,5)=1-0,9332=0,0668.
Interpretação: só cerca de 6,68\% da massa está à esquerda de -1,5.

Passo 5

Agora calculamos a diferença pedida:
P(-1,5\leq Z\leq 0,8)=\Phi(0,8)-\Phi(-1,5)=0,7881-0,0668=0,7213.
Ou seja, aproximadamente 72,13\%. Conferência rápida de sentido: como o intervalo inclui boa parte da cauda esquerda até um valor positivo moderado, um valor em torno de 0,72 faz sentido.

Resposta

P(-1,5 \leq Z \leq 0,8)=0,7213

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