Se Z \sim N(0,1), calcule:
P(Z leq 1,25).

Passo 1

O enunciado pede calcular a probabilidade de que uma variável aleatória padrão normal seja menor ou igual a 1,25. As informações dadas:
  • A variável Z tem distribuição normal padrão, isto é, \,Z\sim N(0,1)\,.
  • A pergunta é: calcular \,P(Z \leq 1,25).

Passo 2

Entendendo o que isso significa. Para uma normal padrão (média 0 e variância 1) a função de distribuição acumulada (CDF) é
\Phi(z)=P(Z\le z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
Aqui:
  • \Phi(z) é a probabilidade acumulada até o ponto z.
  • A função densidade é \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}, mas essa integral não tem uma primitiva elementar simples. Por isso, na prática, usamos tabelas de \Phi (tabelas z), calculadora científica ou software para obter os valores numéricos.

Passo 3

Como usar a tabela z (modo que se usa numa prova sem calculadora eletrônica):
  • A tabela padrão dá valores de \Phi(z) para z\ge 0 organizados por linhas que indicam a parte z com duas primeiras casas decimais e colunas que indicam a segunda casa decimal.
  • Para \,z=1,25, procura-se a linha 1,2 e a coluna 0,05 (porque 1,25=1,20+0,05).
  • A entrada da tabela padrão para z=1,25 é \Phi(1,25)=0,89435. (Esse é o valor que se encontra na tabela padrão da normal acumulada.)

Passo 4

Arredondamento e interpretação prática:
  • Se for pedido arredondar para 4 casas decimais, \Phi(1,25)=0,89435 fica \,0,8944.
  • Interpretação: há aproximadamente 89,44\% de probabilidade de Z ser menor ou igual a 1,25.

Passo 5

Método alternativo (se tiver calculadora ou software): usar a relação com a função erro
\Phi(z)=\tfrac{1}{2}\Big(1+\operatorname{erf}\big(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\big)\Big),
inserir z=1,25 e avaliar numericamente para obter o mesmo resultado \approx0,89435.

Resposta

P(Z\le 1,25)=0,8944

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