Se Z \sim N(0,1), calcule:
P(-0,5 leq Z leq 1,5).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória Z com distribuição normal padrão Z\sim N(0,1) e pede a probabilidade
P(-0,5 \leq Z \leq 1,5).
Informações relevantes fornecidas:
  • Z tem média 0 e desvio-padrão 1.
  • Queremos a probabilidade de Z estar entre -0,5 e 1,5.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Defina a função de distribuição acumulada da normal padrão por \Phi(x)=P(Z\leq x). Ou seja, \Phi(x) dá a probabilidade de Z ser menor ou igual a x.
  • A probabilidade pedida pode ser escrita como diferença de duas CDFs:
P(-0,5 \leq Z \leq 1,5)=\Phi(1,5)-\Phi(-0,5).
Explicando por que isso funciona: \Phi(1,5) é a probabilidade de Z estar à esquerda de 1,5 (toda a área até 1,5); \Phi(-0,5) é a área até -0,5. A área entre -0,5 e 1,5 é a diferença entre essas duas áreas.

Passo 3

Propriedade de simetria da normal padrão (aula curtinha):
  • A distribuição N(0,1) é simétrica em torno de 0. Isso implica a relação
\Phi(-x)=1-\Phi(x)
para qualquer x\geq 0. Em palavras: a probabilidade de estar à esquerda de -x é igual a 1 menos a probabilidade de estar à esquerda de x.
  • Vamos usar isso para calcular \Phi(-0,5) a partir de \Phi(0,5).

Passo 4

Valores da tabela da normal padrão (usei uma tabela padrão de \Phi):
  • Peguei da tabela de distribuição normal padrão:
\Phi(1,5)=0,9332.
  • Também peguei da tabela:
\Phi(0,5)=0,6915.

Passo 5

Calcular \Phi(-0,5) usando a simetria:
\Phi(-0,5)=1-\Phi(0,5)=1-0,6915=0,3085.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2:
P(-0,5 \leq Z \leq 1,5)=\Phi(1,5)-\Phi(-0,5)=0,9332-0,3085=0,6247.

Resposta

0,6247

Exercícios relacionados