Seja
. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado dá:
é um número complexo qualquer,
. A tarefa é provar a equivalência lógica: mostrar que
se, e somente se,
.
Informações relevantes que recebemos e que vamos usar: a definição de número complexo na forma cartesiana e a definição de conjugado complexo. Não iniciamos a prova aqui, só identificamos o que pedirão.
Informações relevantes que recebemos e que vamos usar: a definição de número complexo na forma cartesiana e a definição de conjugado complexo. Não iniciamos a prova aqui, só identificamos o que pedirão.
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender com calma) duas definições básicas que precisamos:
Definição 1 — forma cartesiana de um complexo: todo número complexo
pode ser escrito como
onde
e
são números reais (ou seja
) e
é a unidade imaginária com
. Aqui
é chamada parte real de
e
é chamada parte imaginária de
.
Definição 2 — conjugado complexo: o conjugado de
, escrito
, é obtido trocando o sinal da parte imaginária:
Explicação didática: quando escrevemos
, estamos decompondo
em duas peças: uma “real”
e outra “imaginária”
. O conjugado simplesmente reflete o ponto no eixo real no plano complexo (troca
por
). Se a parte imaginária já for zero, trocar o sinal não muda nada — aí
e
coincidem.
Passo 3
Primeira direção: provar que
.
Começamos assumindo que
é real. Pela definição de número real visto como complexo, isso significa que a parte imaginária de
é zero. Em termos da forma cartesiana: existe
tal que
Aplicando a definição de conjugado ao
acima, obtemos
Portanto
. Foi direto: se não há componente imaginária, trocar o sinal dela não altera o número.
Passo 4
Segunda direção: provar que
.
Agora assumimos que
é um complexo genérico
com
, e que
. Usamos a expressão do conjugado:
A igualdade
dá
Subtraindo
de ambos os lados (operação válida em
) obtemos
Somando
aos dois lados:
Como
é um número complexo não-nulo, a única maneira de
ser zero é ter
. (Explicando: em um corpo como
ou
, produto de dois fatores é zero implica que um dos fatores é zero; aqui
, logo
.) Então a parte imaginária
é zero, e portanto
Concluímos que se
então
é real.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
Exemplo 1:
. Aqui
é real, e
. De fato
.
Exemplo 2:
. Aqui
. Como
, de fato
não é real (tem parte imaginária
).
Esses exemplos ilustram os dois sentidos: números reais têm conjugado igual a si mesmos; números com parte imaginária não-nula não coincidem com seu conjugado.