Seja z \in \mathbb{C}. Prove que z \in \mathbb{R} se, e somente se, z=\bar{z}.

Passo 1

O enunciado dá: z é um número complexo qualquer, z\in\mathbb{C}. A tarefa é provar a equivalência lógica: mostrar que z\in\mathbb{R} se, e somente se, z=\overline{z}.
Informações relevantes que recebemos e que vamos usar: a definição de número complexo na forma cartesiana e a definição de conjugado complexo. Não iniciamos a prova aqui, só identificamos o que pedirão.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender com calma) duas definições básicas que precisamos:
Definição 1 — forma cartesiana de um complexo: todo número complexo z pode ser escrito como
z = x + i y
onde x e y são números reais (ou seja x,y\in\mathbb{R}) e i é a unidade imaginária com i^2=-1. Aqui x é chamada parte real de z e y é chamada parte imaginária de z.
Definição 2 — conjugado complexo: o conjugado de z, escrito \overline{z}, é obtido trocando o sinal da parte imaginária:
\overline{z}=x - i y.
Explicação didática: quando escrevemos z=x+iy, estamos decompondo z em duas peças: uma “real” x e outra “imaginária” iy. O conjugado simplesmente reflete o ponto no eixo real no plano complexo (troca y por -y). Se a parte imaginária já for zero, trocar o sinal não muda nada — aí z e \overline{z} coincidem.

Passo 3

Primeira direção: provar que \,z\in\mathbb{R}\Rightarrow z=\overline{z}.
Começamos assumindo que z é real. Pela definição de número real visto como complexo, isso significa que a parte imaginária de z é zero. Em termos da forma cartesiana: existe x\in\mathbb{R} tal que
z = x + i\cdot 0 = x.
Aplicando a definição de conjugado ao z acima, obtemos
\overline{z} = x - i\cdot 0 = x.
Portanto z=\overline{z}. Foi direto: se não há componente imaginária, trocar o sinal dela não altera o número.

Passo 4

Segunda direção: provar que z=\overline{z}\Rightarrow z\in\mathbb{R}.
Agora assumimos que z é um complexo genérico z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, e que z=\overline{z}. Usamos a expressão do conjugado:
z = x + i y,\qquad \overline{z} = x - i y.
A igualdade z=\overline{z}
x + i y = x - i y.
Subtraindo x de ambos os lados (operação válida em \mathbb{C}) obtemos
i y = - i y.
Somando i y aos dois lados:
2 i y = 0.
Como 2i é um número complexo não-nulo, a única maneira de 2 i y ser zero é ter y=0. (Explicando: em um corpo como \mathbb{R} ou \mathbb{C}, produto de dois fatores é zero implica que um dos fatores é zero; aqui 2i\neq 0, logo y=0.) Então a parte imaginária y é zero, e portanto
z = x + i\cdot 0 = x\in\mathbb{R}.
Concluímos que se z=\overline{z} então z é real.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
Exemplo 1: z=3. Aqui z é real, e \overline{z}=3. De fato z=\overline{z}.
Exemplo 2: z=2+i. Aqui \overline{z}=2-i. Como 2+i\neq 2-i, de fato z não é real (tem parte imaginária 1).
Esses exemplos ilustram os dois sentidos: números reais têm conjugado igual a si mesmos; números com parte imaginária não-nula não coincidem com seu conjugado.

Resposta

\;z\in\mathbb{R}\iff z=\overline{z}.

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