(Zill e Cullen, 2001) Resolva as seguintes equações:
\left(t^{2}+9\right) \frac{d y}{d t}+t y=0 ;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(t^{2}+9\bigr)\,\frac{dy}{dt}+t\,y=0
Essa é uma equação de primeira ordem e linear na forma padrão
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=0.
Vamos identificar P(t), calcular o fator integrante e resolver.

Passo 2

Dividimos tudo por t^{2}+9 para colocar em forma padrão. Assim,
\frac{dy}{dt}+\frac{t}{t^{2}+9}\,y=0.
Aqui temos
P(t)=\frac{t}{t^{2}+9}.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int \frac{t}{t^{2}+9}\,dt\Bigr).
Fazendo a substituição u=t^{2}+9, temos du=2t\,dt, logo
\int \frac{t}{t^{2}+9}\,dt =\frac12\int \frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl(t^{2}+9\bigr).
Portanto,
\mu(t) =\exp\!\Bigl(\tfrac12\ln(t^{2}+9)\Bigr) =(t^{2}+9)^{1/2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t):
(t^{2}+9)^{1/2}\frac{dy}{dt} +(t^{2}+9)^{1/2}\,\frac{t}{t^{2}+9}\,y=0.
O segundo termo simplifica e a esquerda fica exatamente a derivada do produto \mu(t)\,y:
\frac{d}{dt}\bigl((t^{2}+9)^{1/2}\,y\bigr)=0.
Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos
(t^{2}+9)^{1/2}\,y=C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, a solução geral é
y=\frac{C}{(t^{2}+9)^{1/2}}.

Resposta

y(t)=\frac{C}{\sqrt{t^{2}+9}},
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados