(Zill e Cullen, 2001) Resolva as seguintes equações:
t \frac{d y}{d t}-\overline{\overline{t y}}=t^{6} e^{t} ;

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
t\frac{dy}{dt}-t\,y=t^{6}e^{t},
que é uma EDO de primeira ordem e coeficientes não constantes. Para resolvê-la, vamos colocá-la na forma padrão de uma equação linear
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (supondo t\neq0), obtemos
\frac{dy}{dt}-y=t^{5}e^{t}.
Aqui P(t)=-1 e Q(t)=t^{5}e^{t}.

Passo 3

Calculemos o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int -1\,dt\Bigr) =e^{-t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=e^{-t}:
e^{-t}\frac{dy}{dt}-e^{-t}y =(e^{-t}y)'\quad=\;t^{5}.
Agora integramos em relação a t:
e^{-t}y=\int t^{5}\,dt =\frac{t^{6}}{6}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral:
y=e^{t}\Bigl(\frac{t^{6}}{6}+C\Bigr).

Resposta

y(t)=\frac{t^{6}}{6}\,e^{t}+C\,e^{t}.

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