Resolva as seguintes equações:
(Yunus e William, 2014)
\dot{y}-2 y=4-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não-homogênea
\dot{y}-2\,y = 4 - t.
Este é um caso clássico de EDO linear, então vamos usar o método do fator integrante ou tentar um polinômio para a solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
\dot{y}_h - 2\,y_h = 0.
Trata-se de uma EDO de coeficientes constantes cuja solução geral é
y_h(t) = C\,e^{2t},
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) para
\dot{y}_p - 2\,y_p = 4 - t.
Como o lado direito é um polinômio de grau 1, suponha
y_p(t) = a\,t + b.
Então
\dot{y}_p = a,
e substituindo na EDO dá
a - 2\,(a\,t + b) = 4 - t.
Reorganizando termos em t e constantes:
(-2a)\,t + \bigl(a - 2b\bigr) = -1\cdot t + 4.
Igualando coeficientes do mesmo grau de t:
-2a = -1 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac12,
a - 2b = 4 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 - 2b = 4 \quad\Longrightarrow\quad b = -\tfrac{7}{4}.
Logo
y_p(t) = \tfrac12\,t - \tfrac{7}{4}.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C\,e^{2t} + \tfrac12\,t - \tfrac{7}{4}.

Resposta

y(t) = C\,e^{2t} + \frac{t}{2} - \frac{7}{4},
onde C é uma constante arbitrária.

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