Função Corrente e Função Potencial

Teoria Completa

Função Corrente

Cara, você já deve ter visto as famosas equações de Navier-Stokes e da continuidade. Você viu que é um sistema enorme de EDP’s envolvendo várias funções, ou seja, é uma coisa bem complicada de resolver no braço.

Para evitar esse problema, os matemáticos meteram a cara nos livros para descobrir uma forma de reduzir o número de equações e funções para 1. Para a nossa sorte, eles conseguiram.

Primeiro eles estudaram o caso dos problemas incompressível, bidimensionais e permanentes, ou seja, nada depende do tempo. Matematicamente falando, a equação da continuidade se reduz a:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Agora, a ideia de 1 milhão de dólares foi: imaginar uma função mágica que sempre satisfaz essa equação, porque dai a gente poderia se livrar dela. Eis que surge a famosa função corrente. Ela é denotada por ψ ( x , y ) e é definida desse jeitinho aqui:

u = ∂ ψ ∂ y ,               v = - ∂ ψ ∂ x

Olha o que ocorre ao introduzirmos essa mudança na equação da continuidade

∂ ∂ x ∂ ψ ∂ y + ∂ ∂ y - ∂ ψ ∂ x = ∂ ψ ∂ x ∂ y - ∂ ψ ∂ x ∂ y = 0

Portanto, a equação da continuidade é sempre satisfeita e podemos desprezar essa equação já que ela não traz nenhuma novidade sobre o escoamento. É assim que definiremos a função corrente nos outros sistemas de coordenadas, acharemos a função que sempre satisfaz a continuidade.

Duas coisas interessantes sobre a função corrente são: se fizermos ψ igual a uma constante o resultado será uma linha de corrente. Por exemplo, se tivermos

ψ x , y = a x 2 y - y 3 3

A gente vai fazendo ψ = 0 , a , 2 a , … e isso vai nos dando curvas que são as linhas de corrente representadas abaixo:

O outro fato maneiro é que ela mede a vazão volumétrica entre duas linhas de corrente 1 e 2, através da seguinte fórmula

Q 1 → 2 = ψ 2 - ψ 1

Então se ψ 2 > ψ 1 o escoamento vai para a direita e caso contrário vai para a esquerda como na figurinha aqui embaixo:

Vorticidade e Irrotacionalidade

Nessa vibe de definir funções matemáticas para escoamentos, os matemáticos foram além e definiram uma função chamada vorticidade. Ela é representada pela letra ξ e definida desse jeitinho aqui:

ξ → = ∇ × V →

Ou seja, ela é calculada como o rotacional do campo de velocidades! Repara que ela é um vetor!

Ela é importante, porque a velocidade angular do fluido, ω , é definida como metade da vorticidade. Em termos matemáticos é isso aqui

ω → = 1 2   ξ →  

Para acabar as definições, existe um termo que aparece com frequência nas provas que é o escoamento irrotacional. Cara, quando ele diz isso, ele está nos contando que ∇ × V → = 0 , ou seja, a vorticidade e a velocidade angular são ambas nulas.

A maior parte dos escoamentos é irrotacional. Então, quando teremos o rotacional diferente de zero? Em alguns casos, mas basicamente quando tivermos em regiões onde os efeitos viscosos são importantes tipo na camada limite!

Função Potencial

Vimos que a função corrente facilita a analise de escoamentos bidimensionais. Po, e os escoamentos tridimensionais? Não podemos fazer nada?

Os matemágicos perceberam que se o escoamento for irrotacional, a gente pode achar uma função ϕ chamada função potencial que é definida desse jeito aqui

V → = ∇ ϕ

Ou seja, temos o seguinte

u = ∂ ϕ ∂ x ,           v = ∂ ϕ ∂ y ,           w = ∂ ϕ ∂ z

Com essa função mágica, podemos reduzir o problema de 3 funções para apenas 1 a função potencial!

Lembra que se fizermos a função corrente igual a uma constante a gente tem linhas de corrente? Então, se fizermos a função potencial igual a uma constante a gente tem linhas ou superfícies equipotenciais.

Um último fato interessante desses carinhas é que as linhas de corrente são sempre ortogonais as linhas ou superfícies equipotenciais.

São várias funções novas e conceitos diferentões, eu sei. Mas, vai lá nos nossos exercícios praticar um pouco que você vai ver que vai ficar tudo bem mais claro.

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Exercício Resolvido #1

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um escoamento incompressível bidimensional é dado pelo campo de velocidade V = 3 y i + 2 x j , em unidades arbitrárias. Esse escoamento satisfaz a continuidade? Em caso afirmativo, encontre a função corrente ψ   ( x ,   y ) e faça um gráfico de algumas linhas de corrente, com setas.

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Passo 1

Como ele já nos deu o campo de velocidades, a gente tem que

u = 3 y ,           v = 2 x

Passo 2

Para ver se esse escoamento satisfaz a equação da continuidade, devemos ver se u , v satisfazem a seguinte equação

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 3

Pelas expressões do passo 1, temos que

∂ u ∂ x = 0 ,         ∂ v ∂ y = 0

Então temos que

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 + 0 = 0

Logo o escoamento satisfaz a equação da continuidade

Passo 4

A definição da função corrente é

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Então temos que seguir o passo a passo abaixo

Passo 5

Escolha uma das duas equações para integrar

Por conveniência, vou integrar a equação do u , ou seja

∂ ψ ∂ y = 3 y → ψ x , y = 3 2 y 2 + f ( x )

Essa função f ( x ) surgiu porque qualquer coisa que dependesse só de x foi tratada como constante ao fazer a derivada parcial com respeito a y .

Passo 6

Derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável, ou seja, devemos calcular:

∂ ψ ∂ x

Fazendo as continhas, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Passo 7

Pela definição da função corrente, temos que

v = - ∂ ψ ∂ x → 2 x = - f ' ( x )

Integrando a equação acima, temos

f x = - x 2

Passo 8

Assim, juntando tudo temos que

ψ x , y = 3 2 y 2 - x 2

Passo 9

Colocando os valores de ψ = 0 , ± 1 , ± 2 , temos hipérboles como na figura abaixo!

Resposta

Satisfaz a equação da continuidade!

ψ x , y = 3 2 y 2 - x 2

Exercício Resolvido #2

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Considere o seguinte escoamento incompressível bidimensional, que claramente satisfaz a continuidade:

u =   U 0 = c o n s t a n t e ,   v =   V 0 = c o n s t a n t e

Encontre a função corrente ψ ( r ,   θ ) para esse escoamento usando coordenadas polares.

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Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Depois que acharmos a expressão de ψ ( x , y ) , mudamos as coordenadas com mudanças polares abaixo

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a primeira:

u = ∂ ψ ∂ y → U 0 = ∂ ψ ∂ y ∴ ψ x , y = U 0 y + f ( x )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é x , ou seja, calculamos

∂ ψ ∂ x

Calculando, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

v = - ∂ ψ ∂ x → V 0 = - f ' x ∴ f x = - V 0 x

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 y - V 0 x

Passo 6

Para passar para coordenadas polares, basta fazer a mudança polar enunciada no passo 1.

ψ r , θ = U 0 r sin ⁡ θ - V 0 r cos ⁡ θ

Resposta

ψ r , θ = U 0 r sin ⁡ θ - V 0 r cos ⁡ θ

Exercício Resolvido #3

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Para a distribuição de velocidades a seguir, determine se existe uma função corrente e, se existir, encontre uma expressão para ψ ( x ,   y ) e faça o esboço da linha de corrente que passa pelo ponto x ,   y = L 2 , L 2 .

u =   U 0 1 + x L             v =   - U 0 y L               w = 0      

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Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Devemos aplicar o passo a passo

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a segunda:

v = - ∂ ψ ∂ x → U 0 y L = ∂ ψ ∂ x ∴ ψ x , y = U 0 y x L + f ( y )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é y , ou seja, calculamos

∂ ψ ∂ y

Calculando, temos

∂ ψ ∂ y = U 0 x L + f ' ( y )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

u = ∂ ψ ∂ y → U 0 1 + x L = U 0 x L + f ' ( y ) ∴ f x = U 0 y

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 x y L + U 0 y

Passo 6

Substituindo o ponto ( L / 2 , L / 2 ) na equação acima, temos que

ψ L 2 , L 2 = U 0 L 4 + U 0 L 2 = 3 U 0 L 4

Assim, devemos plotar a seguinte curva

U 0 x y L + U 0 y = 3 U 0 L 4

O que gera a imagem abaixo

Resposta

ψ x , y = U 0 x y L + U 0 y

Exercício Resolvido #4

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de escoamento incompressível bidimensional é definido pelos componentes de velocidade

u = 2 V x L - y L

v = - 2 V y L

em que V e L são constantes. Se elas existem, encontre a função corrente e o potencial de velocidade.

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Passo 1

Para verificar se existe a função corrente, devemos ver se o escoamento atende a equação da continuidade, ou seja, se:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Para ver se existe o potencial de velocidade, devemos ver se o escoamento é irrotacional, ou seja, se:

∇ × V → = 0 →

Passo 2

Comecemos com a função corrente. Temos que

∂ u ∂ x = 2 V L ,           ∂ v ∂ y = - 2 V L

Assim, a equação da continuidade é satisfeita, pois

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 V L - 2 V L = 0

Então a função corrente existe e vamos seguir o passo a passo para descobri-la.

Passo 3

Vamos escolher a primeira equação para integrar. Temos, então

u = ∂ ψ ∂ y → ∂ ψ ∂ y = 2 V x L - y L ∴ ψ x , y = 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

Passo 4

Agora devemos derivar o obtido no passo acima com relação a outra variável, ou seja, x :

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

∂ ψ ∂ x = 2 V y L + f ' ( x )