Função Corrente e Função Potencial

Teoria Completa

Função Corrente

Cara, você já deve ter visto as famosas equações de Navier-Stokes e da continuidade. Você viu que é um sistema enorme de EDP’s envolvendo várias funções, ou seja, é uma coisa bem complicada de resolver no braço.

Para evitar esse problema, os matemáticos meteram a cara nos livros para descobrir uma forma de reduzir o número de equações e funções para 1. Para a nossa sorte, eles conseguiram.

Primeiro eles estudaram o caso dos problemas incompressível, bidimensionais e permanentes, ou seja, nada depende do tempo. Matematicamente falando, a equação da continuidade se reduz a:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Agora, a ideia de 1 milhão de dólares foi: imaginar uma função mágica que sempre satisfaz essa equação, porque dai a gente poderia se livrar dela. Eis que surge a famosa função corrente. Ela é denotada por ψ ( x , y ) e é definida desse jeitinho aqui:

u = ∂ ψ ∂ y ,               v = - ∂ ψ ∂ x

Olha o que ocorre ao introduzirmos essa mudança na equação da continuidade

∂ ∂ x ∂ ψ ∂ y + ∂ ∂ y - ∂ ψ ∂ x = ∂ ψ ∂ x ∂ y - ∂ ψ ∂ x ∂ y = 0

Portanto, a equação da continuidade é sempre satisfeita e podemos desprezar essa equação já que ela não traz nenhuma novidade sobre o escoamento. É assim que definiremos a função corrente nos outros sistemas de coordenadas, acharemos a função que sempre satisfaz a continuidade.

Duas coisas interessantes sobre a função corrente são: se fizermos ψ igual a uma constante o resultado será uma linha de corrente. Por exemplo, se tivermos

ψ x , y = a x 2 y - y 3 3

A gente vai fazendo ψ = 0 , a , 2 a , … e isso vai nos dando curvas que são as linhas de corrente representadas abaixo:

O outro fato maneiro é que ela mede a vazão volumétrica entre duas linhas de corrente 1 e 2, através da seguinte fórmula

Q 1 → 2 = ψ 2 - ψ 1

Então se ψ 2 > ψ 1 o escoamento vai para a direita e caso contrário vai para a esquerda como na figurinha aqui embaixo:

Vorticidade e Irrotacionalidade

Nessa vibe de definir funções matemáticas para escoamentos, os matemáticos foram além e definiram uma função chamada vorticidade. Ela é representada pela letra ξ e definida desse jeitinho aqui:

ξ → = ∇ × V →

Ou seja, ela é calculada como o rotacional do campo de velocidades! Repara que ela é um vetor!

Ela é importante, porque a velocidade angular do fluido, ω , é definida como metade da vorticidade. Em termos matemáticos é isso aqui

ω → = 1 2   ξ →  

Para acabar as definições, existe um termo que aparece com frequência nas provas que é o escoamento irrotacional. Cara, quando ele diz isso, ele está nos contando que ∇ × V → = 0 , ou seja, a vorticidade e a velocidade angular são ambas nulas.

A maior parte dos escoamentos é irrotacional. Então, quando teremos o rotacional diferente de zero? Em alguns casos, mas basicamente quando tivermos em regiões onde os efeitos viscosos são importantes tipo na camada limite!

Função Potencial

Vimos que a função corrente facilita a analise de escoamentos bidimensionais. Po, e os escoamentos tridimensionais? Não podemos fazer nada?

Os matemágicos perceberam que se o escoamento for irrotacional, a gente pode achar uma função ϕ chamada função potencial que é definida desse jeito aqui

V → = ∇ ϕ

Ou seja, temos o seguinte

u = ∂ ϕ ∂ x ,           v = ∂ ϕ ∂ y ,           w = ∂ ϕ ∂ z

Com essa função mágica, podemos reduzir o problema de 3 funções para apenas 1 a função potencial!

Lembra que se fizermos a função corrente igual a uma constante a gente tem linhas de corrente? Então, se fizermos a função potencial igual a uma constante a gente tem linhas ou superfícies equipotenciais.

Um último fato interessante desses carinhas é que as linhas de corrente são sempre ortogonais as linhas ou superfícies equipotenciais.

São várias funções novas e conceitos diferentões, eu sei. Mas, vai lá nos nossos exercícios praticar um pouco que você vai ver que vai ficar tudo bem mais claro.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um escoamento incompressível bidimensional é dado pelo campo de velocidade V = 3 y i + 2 x j , em unidades arbitrárias. Esse escoamento satisfaz a continuidade? Em caso afirmativo, encontre a função corrente ψ   ( x ,   y ) e faça um gráfico de algumas linhas de corrente, com setas.

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Passo 1

Como ele já nos deu o campo de velocidades, a gente tem que

u = 3 y ,           v = 2 x

Passo 2

Para ver se esse escoamento satisfaz a equação da continuidade, devemos ver se u , v satisfazem a seguinte equação

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 3

Pelas expressões do passo 1, temos que

∂ u ∂ x = 0 ,         ∂ v ∂ y = 0

Então temos que

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 + 0 = 0

Logo o escoamento satisfaz a equação da continuidade

Passo 4

A definição da função corrente é

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Então temos que seguir o passo a passo abaixo

Passo 5

Escolha uma das duas equações para integrar

Por conveniência, vou integrar a equação do u , ou seja

∂ ψ ∂ y = 3 y → ψ x , y = 3 2 y 2 + f ( x )

Essa função f ( x ) surgiu porque qualquer coisa que dependesse só de x foi tratada como constante ao fazer a derivada parcial com respeito a y .

Passo 6

Derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável, ou seja, devemos calcular:

∂ ψ ∂ x

Fazendo as continhas, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Passo 7

Pela definição da função corrente, temos que

v = - ∂ ψ ∂ x → 2 x = - f ' ( x )

Integrando a equação acima, temos

f x = - x 2

Passo 8

Assim, juntando tudo temos que

ψ x , y = 3 2 y 2 - x 2

Passo 9

Colocando os valores de ψ = 0 , ± 1 , ± 2 , temos hipérboles como na figura abaixo!

Resposta

Satisfaz a equação da continuidade!

ψ x , y = 3 2 y 2 - x 2

Exercício Resolvido #2

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Considere o seguinte escoamento incompressível bidimensional, que claramente satisfaz a continuidade:

u =   U 0 = c o n s t a n t e ,   v =   V 0 = c o n s t a n t e

Encontre a função corrente ψ ( r ,   θ ) para esse escoamento usando coordenadas polares.

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Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Depois que acharmos a expressão de ψ ( x , y ) , mudamos as coordenadas com mudanças polares abaixo

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a primeira:

u = ∂ ψ ∂ y → U 0 = ∂ ψ ∂ y ∴ ψ x , y = U 0 y + f ( x )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é x , ou seja, calculamos

∂ ψ ∂ x

Calculando, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

v = - ∂ ψ ∂ x → V 0 = - f ' x ∴ f x = - V 0 x

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 y - V 0 x

Passo 6

Para passar para coordenadas polares, basta fazer a mudança polar enunciada no passo 1.

ψ r , θ = U 0 r sin ⁡ θ - V 0 r cos ⁡ θ

Resposta

ψ r , θ = U 0 r sin ⁡ θ - V 0 r cos ⁡ θ

Exercício Resolvido #3

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Para a distribuição de velocidades a seguir, determine se existe uma função corrente e, se existir, encontre uma expressão para ψ ( x ,   y ) e faça o esboço da linha de corrente que passa pelo ponto x ,   y = L 2 , L 2 .

u =   U 0 1 + x L             v =   - U 0 y L               w = 0      

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Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Devemos aplicar o passo a passo

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a segunda:

v = - ∂ ψ ∂ x → U 0 y L = ∂ ψ ∂ x ∴ ψ x , y = U 0 y x L + f ( y )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é y , ou seja, calculamos

∂ ψ ∂ y

Calculando, temos

∂ ψ ∂ y = U 0 x L + f ' ( y )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

u = ∂ ψ ∂ y → U 0 1 + x L = U 0 x L + f ' ( y ) ∴ f x = U 0 y

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 x y L + U 0 y

Passo 6

Substituindo o ponto ( L / 2 , L / 2 ) na equação acima, temos que

ψ L 2 , L 2 = U 0 L 4 + U 0 L 2 = 3 U 0 L 4

Assim, devemos plotar a seguinte curva

U 0 x y L + U 0 y = 3 U 0 L 4

O que gera a imagem abaixo

Resposta

ψ x , y = U 0 x y L + U 0 y

Exercício Resolvido #4

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de escoamento incompressível bidimensional é definido pelos componentes de velocidade

u = 2 V x L - y L

v = - 2 V y L

em que V e L são constantes. Se elas existem, encontre a função corrente e o potencial de velocidade.

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Passo 1

Para verificar se existe a função corrente, devemos ver se o escoamento atende a equação da continuidade, ou seja, se:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Para ver se existe o potencial de velocidade, devemos ver se o escoamento é irrotacional, ou seja, se:

∇ × V → = 0 →

Passo 2

Comecemos com a função corrente. Temos que

∂ u ∂ x = 2 V L ,           ∂ v ∂ y = - 2 V L

Assim, a equação da continuidade é satisfeita, pois

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 V L - 2 V L = 0

Então a função corrente existe e vamos seguir o passo a passo para descobri-la.

Passo 3

Vamos escolher a primeira equação para integrar. Temos, então

u = ∂ ψ ∂ y → ∂ ψ ∂ y = 2 V x L - y L ∴ ψ x , y = 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

Passo 4

Agora devemos derivar o obtido no passo acima com relação a outra variável, ou seja, x :

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

∂ ψ ∂ x = 2 V y L + f ' ( x )

Passo 5

Pela definição de função corrente, temos que:

v = - ∂ ψ ∂ x

E, pelo enunciado:

v = - 2 V y L

Então:

∂ ψ ∂ x = 2 V y L + f ' x = 2 V y L

∴ f ' x = 0

Passo 6

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = 2 V L x y - y 2 2

Passo 7

Agora, vamos ver se o potencial existe, ou seja, ver se o escoamento é irrotacional. Em vez de usar a notação com matriz, sempre que tivermos um campo com duas componentes, podemos usar essa notação simplificada para o rotacional:

∇ × V → = ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y k ^

Fazendo nossas continhas, temos que

∇ × V → = 2 V L k ^ ≠ 0

Assim, não há potencial para a velocidade!

Resposta

x , y = 2 V L x y - y 2 2

Exercício Resolvido #5

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Considere o potencial de velocidade incompressível bidimensional ϕ = x y +   x 2 -   y 2 . ( a ) É verdade que ∇ 2 ϕ = 0 , e, em caso afirmativo, o que isso significa? ( b ) Se ela existe, encontre a função corrente ψ ( x ,   y ) desse escoamento. ( c ) Encontre a equação da linha de corrente que passa por x ,   y = 2 ,   1 .

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Passo 1

a) O Laplaciano, ∇ 2 , é definido da seguinte forma

∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2

Então, devemos calcular essas derivadas e ver se isso dá zero.

Passo 2

Calculando, temos

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = 2

∂ 2 ϕ ∂ y 2 = - 2

Assim o Laplaciano é

∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 = 2 - 2 = 0

Passo 3

A equação da continuidade incompressível, escrita numa notação vetorial, é dada por

∇ ⋅ V → = 0

A definição do potencial de velocidade é

V → = ∇ ϕ

Colocando uma equação dentro da outra e lembrando que ∇ ⋅ ∇ ϕ = ∇ 2 ϕ , temos

∇ ⋅ V → = 0 →   ∇ 2 ϕ = 0

Ou seja, sempre que o Laplaciano é zero a equação da continuidade incompressível é satisfeita.

Passo 4

b) Para determinar a função corrente, devemos descobrir as componentes do vetor velocidade. Para isso usamos a definição de potencial de velocidade, ou seja

u = ∂ ϕ ∂ x ,         v = ∂ ϕ ∂ y

Depois, aplicamos o passo a passo que vimos nos outros exercícios.

Passo 5

Derivando a expressão de ϕ , temos que

u = y + 2 x

v = x - 2 y

Agora vamos integrar a seguinte equação

u = ∂ ψ ∂ y → ∂ ψ ∂ y = y + 2 x ∴ ψ x , y = y 2 2 + 2 x y + f ( x )

Passo 6

Derivando a expressão do passo anterior com relação a x , temos

∂ ψ ∂ x = 2 y + f ' ( x )

Pela definição da função corrente, temos

v = - ∂ ψ ∂ x → x - 2 y = - 2 y - f ' x ∴ f x = - x 2 2

Passo 7

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = 1 2 y 2 - x 2 + 2 x y

Passo 8

c)Substituindo o ponto ( 2,1 ) na função obtida acima, temos que

ψ 2,1 = 5 2

Assim, a curva que passa pelo ponto é

1 2 y 2 - x 2 + 2 x y = 5 2

Resposta

b )   ψ x , y = 1 2 y 2 - x 2 + 2 x y

c )   1 2 y 2 - x 2 + 2 x y = 5 2

Exercício Resolvido #6

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Mostre que o escoamento de Couette linear entre placas na Figura tem uma função corrente, mas não tem potencial de velocidade. Qual é a razão disso?

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Passo 1

A primeira coisa que temos que achar são as componentes do vetor velocidade. A componente v é simples de achar, porque o próprio desenho nos mostra

v = 0

A componente u varia linearmente, lá no gráfico o perfil é uma reta, de 0 na posição y = 0 até V na posição y = h , então pela equação da reta a gente tem que

u = V y h

Passo 2

Para saber se existe função corrente, temos que ver se a equação da continuidade é satisfeita, então vamos lá

∂ u ∂ x = 0 ,       ∂ v ∂ y = 0

Então ,temos que

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Logo, o escoamento satisfaz a equação da continuidade e a função corrente existe.

Passo 3

Para descobrir qual é a função corrente a gente segue o mesmo passo a passo, vamos integrar a expressão de u primeiro:

u = V y h = ∂ ψ ∂ y → ψ x , y = V y 2 2 h + f ( x )

Derivando com relação a x a expressão de ψ ( x , y ) que a gente acabou de achar, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Comparando com a componente v , temos

f ' x = 0

Logo, a função corrente é da forma

ψ x , y = V y 2 2 h

Passo 4

Para verificar se a função potencial existe, devemos ver se o escoamento é irrotacional. Como o escoamento tem apenas duas componentes de velocidade a gente tem que verificar essa igualdade aqui:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Passo 5

Fazendo as contas a gente tem que

∂ v ∂ x = 0 ,       ∂ u ∂ y = V h

Assim, a gente tem que

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = - V h ≠ 0

Logo o escoamento é rotacional e não admite função potencial!

Resposta

ψ x , y = V y 2 2 h

Não existe função potencial!

Exercício Resolvido #7

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Encontre o potencial de velocidade bidimensional ϕ ( r ,   θ ) para o padrão de escoamento em coordenadas polares v r = Q / r , v θ = K / r , em que Q e K são constantes.

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Passo 1

Cara, vou te contar um segredo que você tem que guardar no seu coração: em coordenadas polares a expressão da função potencial fica assim:

v r = ∂ ϕ ∂ r   ,           v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ

Ou seja, nesse exercício a gente precisa achar a bendita ϕ ( r , θ ) que satisfaz essas igualdades.

Passo 2

Vou começar olhando para v r (você poderia ter começado por v θ se preferir):

v r = Q r = ∂ ϕ ∂ r   → ϕ r , θ = Q ln ⁡ r + f ( θ )

Passo 3

Agora a gente tem que achar quem é essa tal de f ( θ ) . Para isso, usamos a outra equação, ou seja

v θ = 1 r   f ' θ → 1 r   f ' θ = K r → f ' θ = K ∴ f θ = K θ

Passo 4

Agora é só juntar tudinho e vamos ficar com

ϕ r , θ = Q ln ⁡ r + K θ

Resposta

ϕ r , θ = Q ln ⁡ r + K θ

Exercício Resolvido #8

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Uma função corrente para um escoamento plano, irrotacional em coordenadas polares é:

ψ = C θ - K ln ⁡ r

Onde C , K são constantes. Encontre o potencial de velocidade para esse escoamento.

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Passo 1

Essa daqui vai misturar os conceitos todos, então temos que acompanhar com bastante atenção! Como ele disse que o escoamento é irrotacional, a gente sabe que o potencial existe! Mas, para encontrar sua carinha a gente precisa das componentes da velocidade então é isso que vamos fazer primeiro, usando as equações

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ ,         v θ = - ∂ ψ ∂ r

Essas são as equações da função corrente em coordenadas polares!

Passo 2

A gente tem que

∂ ψ ∂ θ = C ,       ∂ ψ ∂ r = - K r

Então, pelas equações do passo 1, temos que

v r = C r ,         v θ = K r

Passo 3

Com as componentes em mãos, podemos calcular o potencial com essas equações

v r = ∂ ϕ ∂ r ,         v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ

Passo 4

Vou começar analisando a primeira equação:

v r = ∂ ϕ ∂ r → C r = ∂ ϕ ∂ r

Integrando dos dois lados com relação a r a gente tem que

ϕ r , θ = C ln ⁡ r + f θ

Passo 5

Agora derivando essa expressão de ϕ ( r , θ ) que acabamos de achar com relação a θ , temos que

∂ ϕ ∂ θ = f ' ( θ )

Pela expressão de v θ , temos que

v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ → K r = 1 r f ' θ → f ' θ = K

Integrando a última equação, temos que

f θ = K θ

Passo 6

Juntando tudo, a gente fica com

ϕ r , θ = C ln ⁡ r + K θ

Resposta

ϕ r , θ = C ln ⁡ r + K θ

Exercício Resolvido #9

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um líquido é drenado por um pequeno furo em um tanque, como mostra a Figura, de forma que o campo de velocidade é dado por v r ≈ 0 , v z ≈ 0 , v θ = K R 2 / r , em que z = H é a profundidade da água distante do furo. Esse padrão de escoamento é rotacional ou irrotacional? Encontre a profundidade z c da água no raio r = R .

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Passo 1

Primeiro temos que ver se o escoamento é irrotacional. Vou te dar outra expressão que vai facilitar a sua vida quando tiver trabalhando com coordenadas polares! Para ver se um escoamento em coordenadas polares é irrotacional, a gente tem que verificar essa equação:

1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ ∂ θ v θ = 0

Passo 2

Pelo enunciado a gente sabe que

v θ = K R 2 r → r v θ = K R 2

Como r v θ é uma constante, o primeiro termo da equação do passo 1 é zero. Como v θ não depende de r o segundo termo da equação também é zero, logo o escoamento é irrotacional.

Passo 3

Cara, quando a gente vê esses exercícios com altura e pressão a gente fica com uma vontade de tacar Bernoulli né não?

Então, a gente tem que tomar cuidado, porque a gente só pode fazer isso com uma série de hipóteses sendo satisfeitas e numa mesma linha de corrente.

Sabe uma parte ótima dos escoamentos irrotacionais? A equação de Bernoulli é válida sempre nesses escoamentos!

Show, então podemos escrever o seguinte:

p a t m + 1 2 ρ V r = ∞ 2 + ρ g H = p a t m + 1 2 ρ V r = R 2 + ρ g z 0

Passo 4

Agora, precisamos entender que são alguns desses termos aí! Pô, a única componente do vetor velocidade que não é nula é v θ , então o módulo da velocidade V é igual a essa componente. Assim,

V r = R = v θ R = w R

Fazendo o limite quando r → ∞ a gente acha o termo V r = ∞ que é

V r = ∞ = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na equação de Bernoulli, a gente acha que

z 0 = H - w 2 R 2 2 g

Resposta

O escoamento é irrotacional

z 0 = H - w 2 R 2 2 g

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