Equações de Navier-Stokes

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Teoria

Fala aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender a Equação de Navier-Stokes?!

Qual é a Equação de Navier-Stokes?

Sem enrolação, a equação de Navier-Stokes é essa daqui:

Equação de Navier-Stokes
Equação de Navier-Stokes

Sim, ela é é assustadora! Mas fica tranquilo, é só uma questão de tempo pra você pegar intimidade! Como falamos lá em cima, a Equação de Navier-Stokes nos descreve o escoamento de um fluido, então nada mais justo do que essa equação levar em conta DIVERSOS fatores, certo?!

Mas fica tranquilo, quando a gente partir pros exercícios você vai ver que é bem comum usarmos hipóteses simplificadas, então a equação fica bem menor e mais simples!

📢 Clique para ver mais:

Equação de Navier-Stokes: Coordenadas Retangulares

A equação que vimos lá em cima leva em conta os todos os eixos, que quando estamos falando de coordenadas retangulares são e . Ela é uma versão simplificada e mais elegante das Equações de Navier-Stokes!

Mas na prática, na hora dos exercícios a gente precisa abrir essa equação. A versão aberta da equação de Navier-Stokes nas coordenadas retangulares tem essa carinha aqui:

Equação de Navier-Stokes: Coordenadas Retangulares
Equação de Navier-Stokes: Coordenadas Retangulares

Como você pode ver, estão presente todos os termos que vimos na equação lá do início! Só que aqui você pode lidar com cada eixo de uma forma separada!

-Beleza, mas o que eu quero saber é como eu uso a equação de Navier-Stokes na prática! Como ela vai aparecer nos exercícios!

Seu pedido é uma ordem! Se liga nesse videozinho que o Responde Aí preparou pra você! Nele a gente explica melhor qual é o significado de cada termo da Equação de Navier-Stokes, como usa-la em exercícios e muito mais! 👇 🤩

Equação de Navier-Stokes: Coordenadas Cilíndricas

Quando escolhemos o sistema de coordenadas cilíndricas para o nosso problema, precisamos usar a equação de Navier-Stokes nessa coordenada. Então temos:

Como usar a Equação de Navier-Stokes

Pra a gente aprender como usar a equação de Navier-Stokes, vamos fazer um exercício juntos!

Considere um escoamento permanente, bidimensional, incompressível, de um fluido newtoniano no qual o campo de velocidade é . Encontre o escoamento satisfaz a conservação da massa e o campo de pressão se a pressão no ponto é igual a .

Você pode conferir a resolução desse exemplo no vídeo abaixo:

Agora vamos praticar com mais exercícios?!

Como usar a Equação de Navier-Stokes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere o campo de velocidade no plano x y dado por:

V   = x y 2 i - 1 3 y 3 j + x y k

Determine ( a )   o número de dimensões do escoamento, ( b ) se ele é um possível escoamento incompressível e ( c ) a aceleração de uma partícula fluida no ponto ( x ,   y ,   z )   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) .

Passo 1

E aí, tudo bem? Tudo vai ficar tranquilo quando analisarmos esse perfil de velocidade! 😊

Separando a velocidade V em u , v e w (suas componentes nos eixos x, y e z respectivamente), temos isso aí:

V = u i + v j + w k

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

Repara uma coisa em u , v e w : nenhuma delas depende de z! As componentes da velocidade dependem apenas de x e y. Isso quer dizer que o escoamento está acontecendo justamente no plano xy. Ou seja, é um escoamento bidimensional :D

Então, encontramos a resposta da letra a. O número de dimensões do escoamento é 2.

Passo 2

Para saber se esse escoamento bidimensional é incompressível, precisamos verificar se a Equação da Continuidade é satisfeita.

Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Considerando escoamento permanente ∂ ρ ∂ t = 0 e incompressível ( ρ = c o n s t a n t e ) :

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Lembrando que:

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

Aplicando o campo de velocidade na equação da continuidade:

y 2 - 3 3 y 2 + 0 = 0

y 2 - y 2 = 0

0 = 0

Logo, o campo de velocidade considerando fluido incompressível satisfaz a continuidade.

Ou seja, é um escoamento incompressível!

Passo 3

Para calcular a aceleração em um ponto, precisamos encontrar a expressão da aceleração e aplicá-la nesse ponto.

Como conseguir essa expressão? A derivada da velocidade é a aceleração, então vamos derivar nosso campo de velocidade

a x = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z a y = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z a z = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Lembrando que fizemos a hipótese de escoamento permanente no Passo 2, as derivadas em relação ao tempo serão nulas

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z a z = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Além disso, nenhuma componente da velocidade depende de z, então as derivadas em relação a z também são zero

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y a z = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y

Tá ficando menor, vamos que vamos! 😊

Agora vamos lembrar do campo de velocidade e finalmente derivar

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

a x = x y 2 y 2 + - 1 3 y 3 2 x y a y = x y 2 0 + - 1 3 y 3 - y 2 a z = x y 2 y + - 1 3 y 3 x

Organizando

a x = x y 4 + - 2 3 x y 4 a y = 1 3 y 5 a z = x y 3 + - 1 3 x y 3

O enunciado pede a aceleração no ponto (1, 2, 3), logo:

a x = 1 . 2 4 + - 2 3 2 4 a y = 1 3 2 5 a z = 1 . 2 3 + - 1 3 2 3 ⇒ a x = 16 - 32 3 a y = 32 3 a z = 8 - 8 3

a x = 16 3 a y = 32 3 a z = 16 3

Logo, a aceleração no ponto (1, 2, 3) é

a ( 1 ,   2 ,   3 )   = 16 3 i +   32 3 j + 16 3 k

Resposta

(a)2 dimensões

(b)Sim, é um escoamento incompressível

(c) a ( 1 ,   2 ,   3 )   = 16 3 i +   32 3 j + 16 3 k

Exercício Resolvido #2

O escoamento pelo bocal convergente da Figura pode ser aproximado por uma distribuição de velocidades unidimensional

u   ≈   V 0 1 +   2 x L ,   v   ≈ 0   ,   w   ≈ 0

a Encontre uma expressão geral para a aceleração do fluido no bocal.

( b )   Para o caso específico V 0 = 3   m / s e L = 150   m m , calcule a aceleração, em g’s, na entrada e na saída.

Passo 1

Esse problema exige de nós lembrar que a aceleração de um fluido é a primeira derivada da velocidade.

Como nosso escoamento é unidimensional, nossa expressão da aceleração se reduz a um termo.

Ao invés de analisarmos isso tudo:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z   d w d t = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

É necessário olhar apenas a primeira equação:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Passo 2

Devemos agora substituir a expressão:

u = V o 1 + 2 x L

Na equação:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Logo, resolvendo cada derivada:

∂ u ∂ t = 0

u ∂ u ∂ x = V o 1 + 2 x L V o 2 L = 2 V o ² L 1 + 2 x L

v ∂ u ∂ y = 0

w ∂ u ∂ z = 0

Somando tudo, temos a resposta da Letra A:

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 x L

Passo 3

Na letra B ele nos pede para substituir V o = 3   m / s e L = 150   m m = 0,150   m , na expressão que encontramos para a aceleração na entrada x = 0 e na saída x = L = 0,150   m :

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 x L

Na entrada ( x = 0 ):

d u d t = 2 × 3 2 0,150 1 + 2 × 0 0,150

d u d t = 2 × 3 2 0,150 1 + 0

d u d t = 18 0,150

d u d t = 120 m s 2 = 12,2 g

Na saída ( x = L )

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 L L

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2

d u d t = 2 × 3 2 0,150 × 3

d u d t = 360 m s 2 = 36,7 g

Sabendo que:

1   g = 9,80665   m / s ²

Resposta

Letra a)

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 x L

Letra b)

d u d t ( x = 0 ) = 120 m / s ² = 12,2 g

d u d t ( x = L ) = 360 m / s ² = 36,7 g

Exercício Resolvido #3

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

V = x 2 - y 2 + x i - 2 x y + y j

em unidades arbitrárias. Em x ,   y = ( 1 ,   2 ) , calcule ( a ) as acelerações a x e a y , ( b ) o componente de velocidade na direção θ = 40 ° , ( c ) a direção da velocidade máxima e ( d ) a direção da aceleração máxima.

Passo 1

Neste exercício, temos um campo bidimensional de velocidade, logo podemos reduzir o númeo de equações de aceleração para duas apenas:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z  

Sabemos que a componente da velocidade no eixo x é igual a u e que no eixo y é igual a v , podemos reescrever o campo nos termos de u e v :

u = x 2 - y 2 + x

v = - ( 2 x y + y )

Passo 2

Na letra a, o problema nos pede para calcular a x e a y , que nada mais são:

a x = d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

a y = d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

Resolvendo então as derivadas, primeiro para a x :

∂ u ∂ t = 0 u ∂ u ∂ x = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 v ∂ u ∂ y = - 2 x y + y - 2 y w ∂ u ∂ z = 0

Para a y :

∂ v ∂ t = 0 u ∂ v ∂ x = x 2 - y 2 + x ( - 2 y ) v ∂ v ∂ y = - 2 x y + y - 2 x - 1 w ∂ u ∂ z = 0

Em x , y = ( 1,2 ) :

a x = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 - 2 x y + y - 2 y

a x = 1 2 - 2 2 + 1 2 × 1 + 1 - 2 × 1 × 2 + 2 - 2 × 2

a x = 1 - 4 + 1 2 + 1 - 4 + 2 - 4

a x = - 2 3 - 6 - 4

a x = - 6 + 24

a x = 18

E, mais rápido dessa vez:

a y = x 2 - y 2 + x ( - 2 y ) - 2 x y + y - 2 x - 1

a y = 1 2 - 2 2 + 1 ( - 2 × 2 ) - 2 × 1 × 2 + 2 - 2 × 1 - 1

a y = - 2 - 4 + - 6 - 3

a y = 26

Passo 3

Na letra b, o exercício nos pede a representação de V em uma direção θ = 40 o .

Isso é nada menos que a projeção de V em um vetor que representa essa direção.

Podemos definir um vetor n = ( cos ⁡ 40 o , sin ⁡ 40 o ) unitário.

Substituindo x , y = 1,2 em V :

u = x 2 - y 2 + x = - 2

v = - 2 x y + y = - 6

V = ( - 2 , - 6 )

Realizando o produto escalar

V ∙ n = ( - 2 , - 6 ) ∙ ( cos ⁡ 40 o , sin ⁡ 40 o )

V ∙ n = - 2 cos ⁡ 40 o - 6 sin ⁡ 40 o

V ∙ n ≅ - 5,39

Passo 4

Na letra c, temos que calcular em que direção temos velocidade máxima.

Já sabemos da letra anterior que V = ( - 2 , - 6 )

Percebe que se seguirmos o mesmo princípio da letra b, devemos achar um ângulo θ que maximize V .

Isso lembra máximo e mínimos de cálculo, e é exatamente o que faremos:

Para θ arbitrário:

V ∙ n = ( - 2 , - 6 ) ∙ ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ )

V ∙ n = - 2 cos ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ

Vamos chamar essa expressão de f e derivá-la em θ :

f = V ∙ n = - 2 cos ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ

d f d θ = 2 sin ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ

Para encontrarmos um ponto ótimo devemos igualar a zero:

d f d θ = 0

2 sin ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ = 0

2 sin ⁡ θ = 6 cos ⁡ θ

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 6 2

tan ⁡ θ = 3

θ = tan - 1 ⁡ 3

Temos que lembrar que em um cículo trigonométrico dois ângulos pelo menos tem a mesma tangente, e eles estão separados por 180 o .

No nosso problema um deles nos dará a máxima velocidade e outro a mínima, que são iguais em módulo:

f = - 2 cos ⁡ 71 o - 6 sin ⁡ 71 o = - 6,32

E,

f = - 2 cos ⁡ 251 o - 6 sin ⁡ 251 o = + 6,32

Logo V é máxima em módulo nestes dois ângulos.

Passo 5

Finalmente, repetiremos o processo do Passo 4, mas agora para a aceleração:

Em x , y = 1,2 calculamos a = ( 18,26 )

Sendo g = a ∙ n = 18 cos ⁡ θ + 26 sin ⁡ θ

d g d θ = 0

- 18 sin ⁡ θ + 26 cos ⁡ θ = 0

tan ⁡ θ = 26 18

θ = 55,3 o

Resposta

Letra a)

a x = 18 a y = 26

Letra b)

- 5,39

Letra c)

θ = 251 o

Letra d)

θ = 55,3 o

Exercício Resolvido #4

Um campo de escoamento permanente, incompressível, sem atrito, é dado por

V = 2 x y i - y 2 j

em unidades arbitrárias. Seja a massa específica ρ 0 = c o n s t a n t e e despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o gradiente de pressão na direçãoo x .

Passo 1

Neste exercício ele nos dá algumas infomações bem importantes:

-Escoamento permanente: toda derivada temporal será igual a zero

-Escoamento incompressível: a massa específica é constante em todo escoamento

-Sem atrito: viscosidade desprezível

-Desprezaremos a gravidade

Agora só precisamos saber quem é nosso gradiente de pressão ∂ p ∂ x

Passo 2

Aplicando as condições do Passo 1 na primeira expressão de Navier-Stokes:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ρ d u d t

Ou seja,

g x = 0

μ = 0

O que nos resta é

- ∂ p ∂ x =   ρ d u d t

Sabemos que:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Sendo ∂ u ∂ t = 0

Juntando tudo temos a seguinte expressão para resolver:

- ∂ p ∂ x =   ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Passo 3

Do enunciado:

u = 2 x y v = - y 2

Aplicando na nossa expressão

- ∂ p ∂ x =   ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

- ∂ p ∂ x =   ρ 2 x y 2 y + - y 2 2 x + 0