Equações de Navier-Stokes
Teoria
Fala aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender a Equação de Navier-Stokes?!
Qual é a Equação de Navier-Stokes?
Sem enrolação, a equação de Navier-Stokes é essa daqui:

Sim, ela é é assustadora! Mas fica tranquilo, é só uma questão de tempo pra você pegar intimidade! Como falamos lá em cima, a Equação de Navier-Stokes nos descreve o escoamento de um fluido, então nada mais justo do que essa equação levar em conta DIVERSOS fatores, certo?!
Mas fica tranquilo, quando a gente partir pros exercícios você vai ver que é bem comum usarmos hipóteses simplificadas, então a equação fica bem menor e mais simples!
📢 Clique para ver mais:
- Introdução à Mecânica dos Fluidos - FOX: Resolução Completa
- Equação de Navier-Stokes: Exercícios Resolvidos
- Equação da Continuidade
Equação de Navier-Stokes: Coordenadas Retangulares
A equação que vimos lá em cima leva em conta os todos os eixos, que quando estamos falando de coordenadas retangulares são
Mas na prática, na hora dos exercícios a gente precisa abrir essa equação. A versão aberta da equação de Navier-Stokes nas coordenadas retangulares tem essa carinha aqui:

Como você pode ver, estão presente todos os termos que vimos na equação lá do início! Só que aqui você pode lidar com cada eixo de uma forma separada!
-Beleza, mas o que eu quero saber é como eu uso a equação de Navier-Stokes na prática! Como ela vai aparecer nos exercícios!
Seu pedido é uma ordem! Se liga nesse videozinho que o Responde Aí preparou pra você! Nele a gente explica melhor qual é o significado de cada termo da Equação de Navier-Stokes, como usa-la em exercícios e muito mais! 👇 🤩
Equação de Navier-Stokes: Coordenadas Cilíndricas
Quando escolhemos o sistema de coordenadas cilíndricas para o nosso problema, precisamos usar a equação de Navier-Stokes nessa coordenada. Então temos:

Como usar a Equação de Navier-Stokes
Pra a gente aprender como usar a equação de Navier-Stokes, vamos fazer um exercício juntos!
Considere um escoamento permanente, bidimensional, incompressível, de um fluido newtoniano no qual o campo de velocidade é
Você pode conferir a resolução desse exemplo no vídeo abaixo:
Agora vamos praticar com mais exercícios?!
Como usar a Equação de Navier-Stokes
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 293, ex. 5.38
Considere o campo de velocidade no plano dado por:
Determine o número de dimensões do escoamento, se ele é um possível escoamento incompressível e a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Passo 1
E aí, tudo bem? Tudo vai ficar tranquilo quando analisarmos esse perfil de velocidade! 😊
Separando a velocidade V em , e (suas componentes nos eixos x, y e z respectivamente), temos isso aí:
Repara uma coisa em , e : nenhuma delas depende de z! As componentes da velocidade dependem apenas de x e y. Isso quer dizer que o escoamento está acontecendo justamente no plano xy. Ou seja, é um escoamento bidimensional :D
Então, encontramos a resposta da letra a. O número de dimensões do escoamento é 2.
Passo 2
Para saber se esse escoamento bidimensional é incompressível, precisamos verificar se a Equação da Continuidade é satisfeita.
Equação da Continuidade:
Considerando escoamento permanente e incompressível :
Lembrando que:
Aplicando o campo de velocidade na equação da continuidade:
Logo, o campo de velocidade considerando fluido incompressível satisfaz a continuidade.
Ou seja, é um escoamento incompressível!
Passo 3
Para calcular a aceleração em um ponto, precisamos encontrar a expressão da aceleração e aplicá-la nesse ponto.
Como conseguir essa expressão? A derivada da velocidade é a aceleração, então vamos derivar nosso campo de velocidade
Lembrando que fizemos a hipótese de escoamento permanente no Passo 2, as derivadas em relação ao tempo serão nulas
Além disso, nenhuma componente da velocidade depende de z, então as derivadas em relação a z também são zero
Tá ficando menor, vamos que vamos! 😊
Agora vamos lembrar do campo de velocidade e finalmente derivar
Organizando
O enunciado pede a aceleração no ponto (1, 2, 3), logo:
Logo, a aceleração no ponto (1, 2, 3) é
Resposta
(a)2 dimensões
(b)Sim, é um escoamento incompressível
(c)
Exercício Resolvido #2
Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
O escoamento pelo bocal convergente da Figura pode ser aproximado por uma distribuição de velocidades unidimensional
Encontre uma expressão geral para a aceleração do fluido no bocal.
Para o caso específico e , calcule a aceleração, em g’s, na entrada e na saída.
Passo 1
Esse problema exige de nós lembrar que a aceleração de um fluido é a primeira derivada da velocidade.
Como nosso escoamento é unidimensional, nossa expressão da aceleração se reduz a um termo.
Ao invés de analisarmos isso tudo:
É necessário olhar apenas a primeira equação:
Passo 2
Devemos agora substituir a expressão:
Na equação:
Logo, resolvendo cada derivada:
Somando tudo, temos a resposta da Letra A:
Passo 3
Na letra B ele nos pede para substituir e , na expressão que encontramos para a aceleração na entrada e na saída :
Na entrada ():
Na saída ()
Sabendo que:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #3
Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
Um campo de velocidade bidimensional é dado por
em unidades arbitrárias. Em , calcule as acelerações e , o componente de velocidade na direção , a direção da velocidade máxima e a direção da aceleração máxima.
Passo 1
Neste exercício, temos um campo bidimensional de velocidade, logo podemos reduzir o númeo de equações de aceleração para duas apenas:
Sabemos que a componente da velocidade no eixo é igual a e que no eixo é igual a , podemos reescrever o campo nos termos de e :
Passo 2
Na letra a, o problema nos pede para calcular e , que nada mais são:
Resolvendo então as derivadas, primeiro para :
Para :
Em :
E, mais rápido dessa vez:
Passo 3
Na letra b, o exercício nos pede a representação de em uma direção .
Isso é nada menos que a projeção de em um vetor que representa essa direção.
Podemos definir um vetor unitário.
Substituindo em :
Realizando o produto escalar
Passo 4
Na letra c, temos que calcular em que direção temos velocidade máxima.
Já sabemos da letra anterior que
Percebe que se seguirmos o mesmo princípio da letra b, devemos achar um ângulo que maximize .
Isso lembra máximo e mínimos de cálculo, e é exatamente o que faremos:
Para arbitrário:
Vamos chamar essa expressão de e derivá-la em :
Para encontrarmos um ponto ótimo devemos igualar a zero:
Temos que lembrar que em um cículo trigonométrico dois ângulos pelo menos tem a mesma tangente, e eles estão separados por .
No nosso problema um deles nos dará a máxima velocidade e outro a mínima, que são iguais em módulo:
E,
Logo é máxima em módulo nestes dois ângulos.
Passo 5
Finalmente, repetiremos o processo do Passo 4, mas agora para a aceleração:
Em calculamos
Sendo
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Letra d)
Exercício Resolvido #4
Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
Um campo de escoamento permanente, incompressível, sem atrito, é dado por
em unidades arbitrárias. Seja a massa específica e despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o gradiente de pressão na direçãoo .
Passo 1
Neste exercício ele nos dá algumas infomações bem importantes:
-Escoamento permanente: toda derivada temporal será igual a zero
-Escoamento incompressível: a massa específica é constante em todo escoamento
-Sem atrito: viscosidade desprezível
-Desprezaremos a gravidade
Agora só precisamos saber quem é nosso gradiente de pressão
Passo 2
Aplicando as condições do Passo 1 na primeira expressão de Navier-Stokes:
Ou seja,
O que nos resta é
Sabemos que:
Sendo
Juntando tudo temos a seguinte expressão para resolver:
Passo 3
Do enunciado:
Aplicando na nossa expressão