Equações de Navier-Stokes

Teoria Completa

Comportamento de forças em fluidos newtonianos.

Faaala!!!

Hoje no RespondeAí Repórter vamos ver o comportamento do conjunto de equações mais importante da Mecânica dos Fluidos: as EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES.

Onde vivem? Do que se alimentam? Pra que servem?

Essas e todas perguntas serão resolvidas hoje!

Não, elas não se alimentam dos sonhos de formatura dos alunos e não, elas não servem para nada.

Antes de falarmos por trás delas, vamos conhecer a figurinha, se liga:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ρ d u d t ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 = ρ d v d t ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = ρ d w d t

Calma jovem aprendiz vamos olhar o que elas estão nos dizendo.

Para isso, precisamos responder uma pergunta:

Qual grandeza estamos analisando em Navier-Stokes?

Tá vendo aquele termo ρ d u d t no lado direito da primeira equação?

Lembra lá da Segunda Lei de Newton, aquela tal de F = m a , força igual a massa vezes aceleração?

Lembra que aceleração é a primeira derivada da velocidade no tempo? E que massa é igual ao volume vezes a massa específica ρ ? Em outras palavras:

a = d V d t

m = ρ ∇

Substituindo na nossa expressão:

F = m a

F = ρ ∇   d V d t

Ou, olhando para uma componente só,

F x = ρ ∇ d u d t

E se a gente dividir os dois lados por ? Só pra gente pensar em força por unidade de volume:

F ∇ = ρ ∇ d u d t ∇

F ∇ =   ρ d u d t

Ta vendo aquele termo no lado direito? Não é o mesmo do lado direito da primeira equação de Navier-Stokes?

Acabamos de descobrir o que está acontecendo naquelas três equações: estamos analisando força sobre volume.

Mas tem uma pegadinha, essa aceleração d u d t é uma das componentes do campo de aceleração do fluido. E em MecFlu nós não seguimos o movimento de uma só partícula igual em movimento de sólidos, aqui nós vamos observar o fluido ponto a ponto, isso significa que precisamos trabalhar com campos de velocidade e aceleração.

Nosso campo de velocidade vai ser representado da seguinte forma:

V x , y , z , t = u x , y , z , t i + v x , y , z , t j + w x , y , z , t k

Aceleração em Navier-Stokes

A aceleração então é:

a = d V d t = i d u d t + j d v d t + k d w d t

A pegadinha entra agora: como u ,   v   e w não dependem só do tempo, devemos utilizar a regra da cadeia, derivando a variação de x , y , z no tempo t também:

d u d t = ∂ u ∂ t + ∂ u ∂ x d x d t + ∂ u ∂ y d y d t + ∂ u ∂ z d z d t

O mesmo vale para as outras componentes de velocidade.

Por definição:

u = d x d t v = d y d t w = d z d t

O que substituindo nas nossas expressões da aceleração dá o seguinte:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z   d w d t = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Essas relações são muito importante pra quando a gente começar a fazer exercícios.

Substituindo nas equações de Navier-Stokes:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 = ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

A essa altura, você pode estar pensando...

Então, eu não queria ser chata, mas a resposta é sim. Essas são as equações de Navier-Stokes. Se fosse um hambúrguer, ia ser o X-TUDÃO de MecFlu. Maaaaas, a boa notícia é que em cada exercício você vai conseguir simplificar bastante. :D

Vamos resolver juntos os problemas, mas a equação não costuma ser esse problemão aí todo não. Bora deixar isso mais simples! Para isso, vamos entender os termos.

Entendendo os termos de Navier-Stokes

Agora vamos dar uma olhada no lado esquerdo das equações de Navier-Stokes, usando a primeira como exemplo:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

Podemos separar em três pedaços

ρ g x - ∂ p ∂ x μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

O primeiro, lembra um pouco uma força conhecida, aquela tal de força peso m g → ...

Então é exatamente isso! É a força que a gravidade aplica nos nossos escoamentos, só que agora ela está no formato para fluidos: força sobre volume, N m ³ se usarmos o sistema internacional de medidas.

Próximo pedaço:

O que é aquele p ? Não é nada mais que a pressão no fluido, e como estamos no eixo x , queremos saber como ela varia nesse mesmo eixo.

Se olharmos as unidades, veremos que representa a mesma coisa: força sobre volume

Unidade de pressão: P a = N m ²

Unidade de comprimento: m

N / m ² m = N / m ³

O sinal negativo apareceu aí devido a convenção de sinais usados na dedução da expressão.

Terceiro e último pedaço: componentes cisalhantes

Quando arrastamos um bloco no chão sentimos uma resistência entre a superfície de contato do bloco e do chão. Essa força é a força de atrito que tanto conhecemos.

Em fluidos acontece a mesma coisa, só que em todo ele.

Imagine que o fluido são pequenos pedaços infinitesimais formados por algumas moléculas que estão sempre encostados no outro, se arrastando, um passando por cima do outro.

Ou seja, sempre há uma resistência própria de cada fluido a esses movimentos. Por exemplo o ar é muito menos resistente que a água não é?

A gente tem um outro nome pra isso: viscosidade ou atrito interno. Representado pela letra μ .

Todo fluido é viscoso, uns mais, outros menos. A gente ta mais acostumado em chamar o mel de algo viscoso, né mesmo? Mas todos eles apresentam essa propriedade inerente de resistência.

Quando um fluido tem viscosidade constante no tempo e para qualquer estado de tensões , chamamos esse fluido de fluido newtoniano.

As equações de Navier-Stokes só são válidas para escoamentos incompressíveis de fluidos newtonianos.

Agora, bora lá praticar! \o/

Expandir

Exercício Resolvido #1

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 293, ex. 5.38

Considere o campo de velocidade no plano x y dado por:

V   = x y 2 i - 1 3 y 3 j + x y k

Determine ( a )   o número de dimensões do escoamento, ( b ) se ele é um possível escoamento incompressível e ( c ) a aceleração de uma partícula fluida no ponto ( x ,   y ,   z )   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) .

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Passo 1

E aí, tudo bem? Tudo vai ficar tranquilo quando analisarmos esse perfil de velocidade! 😊

Separando a velocidade V em u , v e w (suas componentes nos eixos x, y e z respectivamente), temos isso aí:

V = u i + v j + w k

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

Repara uma coisa em u , v e w : nenhuma delas depende de z! As componentes da velocidade dependem apenas de x e y. Isso quer dizer que o escoamento está acontecendo justamente no plano xy. Ou seja, é um escoamento bidimensional :D

Então, encontramos a resposta da letra a. O número de dimensões do escoamento é 2.

Passo 2

Para saber se esse escoamento bidimensional é incompressível, precisamos verificar se a Equação da Continuidade é satisfeita.

Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Considerando escoamento permanente ∂ ρ ∂ t = 0 e incompressível ( ρ = c o n s t a n t e ) :

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Lembrando que:

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

Aplicando o campo de velocidade na equação da continuidade:

y 2 - 3 3 y 2 + 0 = 0

y 2 - y 2 = 0

0 = 0

Logo, o campo de velocidade considerando fluido incompressível satisfaz a continuidade.

Ou seja, é um escoamento incompressível!

Passo 3

Para calcular a aceleração em um ponto, precisamos encontrar a expressão da aceleração e aplicá-la nesse ponto.

Como conseguir essa expressão? A derivada da velocidade é a aceleração, então vamos derivar nosso campo de velocidade

a x = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z a y = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z a z = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Lembrando que fizemos a hipótese de escoamento permanente no Passo 2, as derivadas em relação ao tempo serão nulas

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z a z = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Além disso, nenhuma componente da velocidade depende de z, então as derivadas em relação a z também são zero

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y a z = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y

Tá ficando menor, vamos que vamos! 😊

Agora vamos lembrar do campo de velocidade e finalmente derivar

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

a x = x y 2 y 2 + - 1 3 y 3 2 x y a y = x y 2 0 + - 1 3 y 3 - y 2 a z = x y 2 y + - 1 3 y 3 x

Organizando

a x = x y 4 + - 2 3 x y 4 a y = 1 3 y 5 a z = x y 3 + - 1 3 x y 3

O enunciado pede a aceleração no ponto (1, 2, 3), logo:

a x = 1 . 2 4 + - 2 3 2 4 a y = 1 3 2 5 a z = 1 . 2 3 + - 1 3 2 3 ⇒ a x = 16 - 32 3 a y = 32 3 a z = 8 - 8 3

a x = 16 3 a y = 32 3 a z = 16 3

Logo, a aceleração no ponto (1, 2, 3) é

a ( 1 ,   2 ,   3 )   = 16 3 i +   32 3 j + 16 3 k

Resposta

(a)2 dimensões

(b)Sim, é um escoamento incompressível

(c) a ( 1 ,   2 ,   3 )   = 16 3 i +   32 3 j + 16 3 k

Exercício Resolvido #2

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

O escoamento pelo bocal convergente da Figura pode ser aproximado por uma distribuição de velocidades unidimensional

u   ≈   V 0 1 +   2 x L ,   v   ≈ 0   ,   w   ≈ 0

a Encontre uma expressão geral para a aceleração do fluido no bocal.

( b )   Para o caso específico V 0 = 3   m / s e L = 150   m m , calcule a aceleração, em g’s, na entrada e na saída.

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Passo 1

Esse problema exige de nós lembrar que a aceleração de um fluido é a primeira derivada da velocidade.

Como nosso escoamento é unidimensional, nossa expressão da aceleração se reduz a um termo.

Ao invés de analisarmos isso tudo:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z   d w d t = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

É necessário olhar apenas a primeira equação:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Passo 2

Devemos agora substituir a expressão:

u = V o 1 + 2 x L

Na equação:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Logo, resolvendo cada derivada:

∂ u ∂ t = 0

u ∂ u ∂ x = V o 1 + 2 x L V o 2 L = 2 V o ² L 1 + 2 x L

v ∂ u ∂ y = 0

w ∂ u ∂ z = 0

Somando tudo, temos a resposta da Letra A:

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 x L

Passo 3

Na letra B ele nos pede para substituir V o = 3   m / s e L = 150   m m = 0,150   m , na expressão que encontramos para a aceleração na entrada x = 0 e na saída x = L = 0,150   m :

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 x L

Na entrada ( x = 0 ):

d u d t = 2 × 3 2 0,150 1 + 2 × 0 0,150

d u d t = 2 × 3 2 0,150 1 + 0

d u d t = 18 0,150

d u d t = 120 m s 2 = 12,2 g

Na saída ( x = L )

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 L L

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2

d u d t = 2 × 3 2 0,150 × 3

d u d t = 360 m s 2 = 36,7 g

Sabendo que:

1   g = 9,80665   m / s ²

Resposta

Letra a)

d u d t = 2 V o ² L 1 + 2 x L

Letra b)

d u d t ( x = 0 ) = 120 m / s ² = 12,2 g

d u d t ( x = L ) = 360 m / s ² = 36,7 g

Exercício Resolvido #3

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

V = x 2 - y 2 + x i - 2 x y + y j

em unidades arbitrárias. Em x ,   y = ( 1 ,   2 ) , calcule ( a ) as acelerações a x e a y , ( b ) o componente de velocidade na direção θ = 40 ° , ( c ) a direção da velocidade máxima e ( d ) a direção da aceleração máxima.

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Passo 1

Neste exercício, temos um campo bidimensional de velocidade, logo podemos reduzir o númeo de equações de aceleração para duas apenas:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z  

Sabemos que a componente da velocidade no eixo x é igual a u e que no eixo y é igual a v , podemos reescrever o campo nos termos de u e v :

u = x 2 - y 2 + x

v = - ( 2 x y + y )

Passo 2

Na letra a, o problema nos pede para calcular a x e a y , que nada mais são:

a x = d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

a y = d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

Resolvendo então as derivadas, primeiro para a x :

∂ u ∂ t = 0 u ∂ u ∂ x = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 v ∂ u ∂ y = - 2 x y + y - 2 y w ∂ u ∂ z = 0

Para a y :

∂ v ∂ t = 0 u ∂ v ∂ x = x 2 - y 2 + x ( - 2 y ) v ∂ v ∂ y = - 2 x y + y - 2 x - 1 w ∂ u ∂ z = 0

Em x , y = ( 1,2 ) :

a x = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 - 2 x y + y - 2 y

a x = 1 2 - 2 2 + 1 2 × 1 + 1 - 2 × 1 × 2 + 2 - 2 × 2

a x = 1 - 4 + 1 2 + 1 - 4 + 2 - 4

a x = - 2 3 - 6 - 4

a x = - 6 + 24

a x = 18

E, mais rápido dessa vez:

a y = x 2 - y 2 + x ( - 2 y ) - 2 x y + y - 2 x - 1

a y = 1 2 - 2 2 + 1 ( - 2 × 2 ) - 2 × 1 × 2 + 2 - 2 × 1 - 1

a y = - 2 - 4 + - 6 - 3

a y = 26

Passo 3

Na letra b, o exercício nos pede a representação de V em uma direção θ = 40 o .

Isso é nada menos que a projeção de V em um vetor que representa essa direção.

Podemos definir um vetor n = ( cos ⁡ 40 o , sin ⁡ 40 o ) unitário.

Substituindo x , y = 1,2 em V :

u = x 2 - y 2 + x = - 2

v = - 2 x y + y = - 6

V = ( - 2 , - 6 )

Realizando o produto escalar

V ∙ n = ( - 2 , - 6 ) ∙ ( cos ⁡ 40 o , sin ⁡ 40 o )

V ∙ n = - 2 cos ⁡ 40 o - 6 sin ⁡ 40 o

V ∙ n ≅ - 5,39

Passo 4

Na letra c, temos que calcular em que direção temos velocidade máxima.

Já sabemos da letra anterior que V = ( - 2 , - 6 )

Percebe que se seguirmos o mesmo princípio da letra b, devemos achar um ângulo θ que maximize V .

Isso lembra máximo e mínimos de cálculo, e é exatamente o que faremos:

Para θ arbitrário:

V ∙ n = ( - 2 , - 6 ) ∙ ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ )

V ∙ n = - 2 cos ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ

Vamos chamar essa expressão de f e derivá-la em θ :

f = V ∙ n = - 2 cos ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ

d f d θ = 2 sin ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ

Para encontrarmos um ponto ótimo devemos igualar a zero:

d f d θ = 0

2 sin ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ = 0

2 sin ⁡ θ = 6 cos ⁡ θ

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 6 2