Analogia entre a transferência de massa e de movimento

Ver Todos os Exercícios

Teoria

E aí? Tudo belezinha? Preparados para continuar nossa aprendizagem radical?

Vamos nessa então! Chegou o momento da gente fazer analogias entre a transferência de massa por convecção e de movimento, ok?

Vamo começar se ligando que analogia não quer dizer que tenha alguma coisa igual entre essa galera aí, ok? Uma analogia quer dizer, segundo o dicionário, uma relação de semelhança entre coisas distintas… Ou seja, baseado no conhecimento que temos de alguma coisa podemos verificar a semelhança dele com outros conceitos.

Agora que já estamos espertos e sabemos o que é uma analogia… Vamos à “mão na transferência de massa” !!

Bom, a analogia entre transferência da quantidade de movimento e da massa acontece quando estamos trabalhando com transferência convectiva de massa em regime turbulento, exatamente porque é um modelo mais complexo de se trabalhar e essa analogia vai nos ajudar bastante.

Em regime turbulento, podemos identificar o número de Schmidt, como sendo:

S c T = v T D T

Relaxa que esse índice T ali em cima é só uma indicação de que estamos em um regime turbulento, ok?

E vamos ter também o número de Stanton mássico, que será:

S t M = γ ⋅ C f 2

Sendo:

γ = 1 S c T 1 + D A B / D T 1 + v / v T δ T δ M T

E isso tudo nos leva a relação onde:

k m = u ∞

Isso nos mostra como se comporta o coeficiente de transferência de massa convectivo e o coeficiente de atrito, levando a gente a uma analogia entre a quantidade de movimento e ao fenômeno de transferência de massa.

As definições de como chegamos a essas equações não é nosso foco agora, beleza?

O importante é lembrar que teve uma galerinha que desenvolveu correlações buscando nos ajudar com essa analogia, vamos a elas então!

Analogia de Reynolds

A analogia de Reynolds pode ser aplicada em situações que temos tubos lisos e placa-plana. Essa analogia considera que todo o escoamento será turbulento, ok? Ou seja, nesse caso a transferência de massa e de quantidade de movimento vão ter sua distribuição de velocidades idênticas… Isso nos leva a um número de Schmidt que será:

S c T = 1

Temos então:

v T > > v e D T > > D A B

E fazendo essas considerações na equação de γ , que vimos ali em cima:

γ = 1 S c T 1 + D A B / D T 1 + v / v T δ T δ M T

Teremos que:

γ = 1

Opa! O número de Stanton mássico vai ficar com essa cara aqui, então:

S t M = C f 2

Bom, e a conclusão que podemos chegar nessa analogia é que:

S c T = S c e δ T δ M T = δ δ M

Ou seja, ele admite que considerando a turbulência em todo o escoamento, vamos ter o comportamento dos parâmetros de escoamento turbulento iguais aos parâmetros que não apresentam turbulência.

Analogia de Prandtl

Olha só, essa analogia considera que o escoamento terá duas partes: uma que vai se comportar em regime laminar e a outra que será em regime turbulento… Na parte turbulenta essa analogia vai considerar as mesmas implicações que vimos na analogia de Reynolds, mas como dividimos em duas camadas diferentes, vamos ter que:

γ = 1 + a φ 1 / 2 S c - 1 - 1

Esse a , é um parâmetro que vai mudar de acordo com o lugar do nosso escoamento, para tubos lisos vamos ter que a = 5 , já no caso de placa-plana teremos a = 7,56 S c 1 / 6 .

Analogia de Von Kármán

Bom, o Von Kármán pegou a analogia de Prandtl e deu uma melhorada, agora ele considera o escoamento dividido em três partes: a parte laminar, uma zona de amortecimento e depois a parte turbulenta… Essa zona de amortecimento é como se fosse uma região de transição do regime laminar para o turbulento, beleza?

Com a adição dessa camada no meio, vamos ter:

γ = 1 + a φ 1 / 2 S c - 1 + l n 1 + a S c / 6 - 1

O que mudou foi o acréscimos desse logaritmo aí, tá? E o a , continua sendo o mesmo parâmetro da analogia anterior.

Analogia de Chilton-Colbura

Esse cara aqui, voltou lá na analogia de Reynolds, mas agora admitindo que:

S c ≠ 1

Essa analogia quer mostrar pra gente a transferência de massa acontecendo simultâneamente com a transferência de massa e de momento em regime turbulento, e levando em conta que:

S c T = S c e δ T δ M T = δ δ M

Teremos o fator de correção dela da seguinte forma:

1 S c T δ T δ M T = 1 S c δ δ M = γ

Fazendo vários ajustes, vamos ter, por fim, uma espessura de camada limite sendo dada por:

γ = S c   - 2 / 3

E isso nos leva a um:

S t M = S c   - 2 / 3 ⋅ C f 2

Passando esse termo, da espessura da camada limite, para o outro lado ficamos com:

S t M ⋅ S c   2 / 3 = C f 2

E todo mundo que está à esquerda dessa relação será considerado como o fator de Chilton-Colburn j M , ficaremos então com:

j M = C f 2

Agora que vimos as diferentes analogias, vamos exercitar o que aprendemos!

Analogia de Reynolds

Analogia de Prandtl

Analogia de Von Kármán

Analogia de Chilton-Colbura

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Desenvolva a relação entre a transferência de massa e de movimento.

Dica: Mostre a relação entre o coeficiente de massa e o coeficiente de atrito.

Passo 1

Esse enunciado tá pedindo pra gente a analogia padrão entre os fenômenos de transferência de massa e de quantidade de movimento, ok?

Vamos nessa então! Analisando as magnitudes dos fluxos na fronteira y = 0 e sendo y = δ T a espessura da camada limite turbulenta dinâmica e y = δ M T , a espessura da camada limite turbulenta mássica, vamos ter:

τ p = v + v T ρ ⋅ u ∞ δ T e n A ,   p = D A B + D T Δ ρ A δ M T

Dividindo essas equações, uma pela outra vamos ficar com:

τ p n A ,   p = v + v T ρ ⋅ u ∞ δ T D A B + D T Δ ρ A δ M T

τ p n A ,   p = v T D T 1 + v / v T 1 + D A B / D T δ M T δ T ρ ⋅ u ∞ Δ ρ A

Sendo o número de Schmidt turbulento dado por:

S c T = v T D T

E considerando que:

τ p ≈ ρ ⋅ u ∞ e n A ,   p ≈ k m ⋅ Δ ρ A

A equação ficará:

ρ ⋅ u ∞ k m ⋅ Δ ρ A = S c T 1 + v / v T 1 + D A B / D T δ M T δ T ρ ⋅ u ∞ Δ ρ A

Arrumando ela ficaremos com:

k m u ∞ = φ 1 S c T 1 + D A B / D T 1 + v / v T δ T δ M T

E lembrando que o coeficiente de atrito, pode ser dado por:

C f = τ p ρ ⋅ u ∞ / 2

E correlacionando o φ com o coeficiente de atrito, podemos considerar que:

φ ≡ C f 2

Substituindo isso na equação que temos:

k m u ∞ = C f 2 1 S c T 1 + D A B / D T 1 + v / v T δ T δ M T

E recordando que o número de Stanton mássico é definido por:

S t M = γ ⋅ C f 2

A equação ficará com essa cara aqui:

γ = 1 S c T 1 + D A B / D T 1 + v / v T δ T δ M T

Comparando isso com o número de Stanton mássico, é como se a gente tivesse:

k m = γ ⋅ C f 2 u ∞

Isso mostra pra gente que:

k m ≈ u ∞

O coeficiente de transferência de massa é proporcional ao coeficiente de atrito, mostrando assim a analogia entre a transferência de massa e a quantidade de movimento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Qual o objetivo da apresentação de diferentes analogias que representem a transferência de massa e de movimento. E em quais condições elas devem ser aplicadas.

Passo 1

Fala aí!! Tudo ok? O enunciado tá pedindo pra gente o objetivo de ter as analogias de Reynolds, Prandtl, Von Kármán e Chilton-Colburn e quais as condições que elas devem ser aplicadas.

Bom, o objetivo dessas analogias é simplificar a obtenção do fator γ ,que será diferente para cada situação que será abordada, ou seja essas analogias se fazem necessárias para identificar qual será a contribuição de γ nas diferentes zonas de escoamento… Dá uma olhadinha nessa figura abaixo, que representa o escoamento em uma placa plana:

Vamos ter zonas de escoamento diferentes, mesmo analisando só a parte da turbulência…

Olha só, a analogia de Reynolds vai considerar que todo o escoamento é uma coisa só, e vai funcionar como uma única camada turbulenta, já a analogia de Prandtl considera uma parte laminar e a outra turbulenta, a analogia de Von Kármán vai considerar a parte laminar, a turbulenta e a zona de amortecedora, que será a transição entre elas, e a analogia de Chilton-Colburn, considera a existência apenas de um núcleo turbulento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Explique a diferença entre a analogia de Von Kármán e a analogia de Prandtl.

Passo 1

Bom, a analogia desses dois caras é bem semelhante, principalmente porque o Von Kármán se baseou no desenvolvimento de Prandtl. A principal diferença é que Prandtl dividiu seu escoamento em duas zonas, uma subcamada laminar e um núcleo turbulento, desse jeitinho da imagem:

Já o Von Kármán, buscando aperfeiçoar esse modelo incluiu uma subcamada de transição entre essas duas zonas, que chamou de subcamada amortecedora, dá só uma olhadinha:

A presença dessa subcamada torna o modelo mais próximo da realidade e é por conta dela que temos o aparecimento do logaritmo na equação do fator γ , deixando a equação dele desse jeito:

γ = 1 + a φ 1 / 2 S c - 1 + l n 1 + a S c / 6 - 1

Se a gente tira essa parte do logaritmo, temos exatamente o fator γ , para a analogia de Prandtl, olha só:

γ = 1 + a φ 1 / 2 S c - 1 - 1

Show de bolinhas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Determine o valor do coeficiente convectivo de transferência de massa por intermédio da analogia de Chilton-Colburn, considerando que as seco a 25°C e 1 atm escoa a 60 m/s no interior de um tubo de 5 cm de diâmetro feito de naftaleno.

Dados: v = 0,16 ⋅ 10 - 4 m 2 / s e D A B = 0,0611 ⋅ 10 - 4   m 2 / s .

Passo 1

Olha que continha linda pra gente fazer!! O enunciado quer que a gente use a analogia de Chilton-Colburn… Ela é aquela que se baseia em Reynolds, mas considera um núcleo turbulento, beleza? Vamos lá!

Estamos trabalhando com um tubo de naftaleno, logo um tubo liso, podemos encontrar o coeficiente médio de atrito com a seguinte relação:

φ = C f 2 = 0,023 R e 0,2

Opa! Então precisamos do número de Reynolds antes:

R e = D ⋅ u _ v

Substituindo os dados, temos:

R e = 0,05 ⋅ 60 0,16 ⋅ 10 - 4

R e = 1,875 ⋅ 10 5

Olha que legal! Isso confirma que estamos em regime turbulento e podemos usar essa analogia mesmo haha

Passo 2

Voltando lá no coeficiente de atrito, ficaremos com:

φ = C f 2 = 0,023 1,875 ⋅ 10 5 0,2

φ = C f 2 = 2,03 ⋅ 10 - 3

E lembrando á da teoria quando dizemos que:

S t M ⋅ S c   2 / 3 = C f 2

Vamos ter:

S t M ⋅ S c   2 / 3 = 2,03 ⋅ 10 - 3

E se:

S t M = k m u _

Nós podemos dizer que:

k m u _ ⋅ S c   2 / 3 = 2,03 ⋅ 10 - 3

Rearranjando, vamos ficar com:

k m = 2,03 ⋅ 10 - 3 ⋅ S c     - 2 / 3 ⋅ u _

E sendo:

S c = v D A B

Teremos então que o nosso coeficiente convectivo de massa, nessa situação, ficará:

k m = 2,03 ⋅ 10 - 3 ⋅ v D A B     - 2 / 3 ⋅ u _

Substituindo o que foi dado no enunciado:

k m = 2,03 ⋅ 10 - 3 ⋅ 0,16 ⋅ 10 - 4 0,0611 ⋅ 10 - 4     - 2 / 3 ⋅ 60

k m = 0,064   m / s

Prontinho!!!

Resposta

O coeficiente convectivo de massa é:

k m = 0,064   m / s

Exercício Resolvido #5

Determine o valor do coeficiente convectivo de transferência de massa por intermédio da analogia de Chilton-Colburn, considerando que o escoamento acontece em uma tubulação lisa e retangular de lados 2,0   c m e 3,0   c m .

Dados: T = 25 ° C , P = 1   a t m , u _ = 60   m / s , v = 0,16 ⋅ 10 - 4 m 2 / s e D A B = 0,0611 ⋅ 10 - 4   m 2 / s .

Passo 1

Fala aí! Esse enunciado quer algo bem parecido com o anterior, né? A diferença é que agora estamos em uma tubulação retangular, certo? Então vamos nessa!

Estamos trabalhando com um tubo retangular, então precisamos encontrar o diâmetro hidráulico dele:

D H = 2 a b a + b

Como ele deu pra gente o a = 2   c m e o b = 3   c m , vamos ficar com:

D H = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2 + 3 = 2,4   c m

Beleza! A parte nova pra gente já foi! Agora é o que já tínhamos visto antes!

Precisamos do número de Reynolds:

R e = D ⋅ u _ v

Que será:

R e = 0,05 ⋅ 0,024 0,16 ⋅ 10 - 4

R e = 9,0 ⋅ 10 4

Estamos em regime turbulento! Só pra confirmar haha

Passo 2

Achando o coeficiente de atrito:

φ = C f 2 = 0,023 9,0 ⋅ 10 4 0,2

φ = C f 2 = 3,308 ⋅ 10 - 3

Logo, o fator de Chilton-Colburn, é:

j M = S t M ⋅ S c   2 / 3 = 3,308 ⋅ 10 - 3

Podemos encontrar o coeficiente convectivo de massa, usando a relação:

k m = 3,308 ⋅ 10 - 3 ⋅ v D A B     - 2 / 3 ⋅ u _

Substituindo o que foi dado no enunciado:

k m = 3,308   ⋅ 10 - 3 ⋅ 0,16 ⋅ 10 - 4 0,0611 ⋅ 10 - 4     - 2 / 3 ⋅ 60

k m = 0,104   m / s

Arrasamos!

Resposta

O coeficiente convectivo de massa é:

k m = 0,104   m / s

Exercício Resolvido #6

Utilize a analogia de Prandtl para determinar o valor do número de Stanton mássico, sabendo que trata-se de um escoamento em placa plana.

Dados: S c = 3,607

C f = 7,34 ⋅ 10 - 3

R e = 9,0 ⋅ 10 4

Passo 1

Vamos para mais uma questãozinha! Precisamos encontrar o número de Stanton mássico através da analogia de Prandtl, sendo dado pra gente o número de Schmidt e o coeficiente de atrito… humm… Bom, precisamos lembrar dessa relação aqui:

S t M = γ ⋅ C f 2

E segundo Prandtl, temos que:

γ = 1 + a φ 1 / 2 S c - 1 - 1

Como estamos trabalhando com uma placa plana nossa constante será:

a = 7,56 S c 1 / 6

Teremos então:

a = 7,56 3,607 1 / 6

a = 6,105

Opa! Mais ainda falta esse cara aqui φ , podemos encontrar ele com a relação:

φ = 0,023 R e 0,2

φ = 0,023 9,0 ⋅ 10 4 0,2

φ = 0,00235

Passo 2

Voltando para a analogia de Prandtl:

γ = 1 + 6,105 ⋅ 0,00235 1 / 2 3,607 - 1 - 1

γ = 0,564

Por fim, vamos encontrar o número de Stanton:

S t M = 0,564 ⋅ 7,34 ⋅ 10 - 3 2

S t M = 0,00207

É isso aí!

Resposta

S t M = 0,00207

Exercício Resolvido #7

Determine o coeficiente convectivo, utilizando a analogia de Von Kármán, sabendo que trata-se de um escoamento em um tubo liso.

Dados: S c = 740

u ∞ = 64   m / s

C f = 4,09 ⋅ 10 - 3

R e = 1,12 ⋅ 10 4

Passo 1

Vamos nessa! Precisamos encontrar o coeficiente convectivo usando a analogia de Von Kármán, precisamos lembrar dessa relação aqui:

k m = γ ⋅ C f 2 ⋅ u ∞

E segundo Von Kármán, temos que:

γ = 1 + a φ 1 / 2 S c - 1 + l n 1 + a S c / 6 - 1

Como estamos trabalhando com um tubo liso nossa constante será:

a = 5

Opa! Agora só falta o φ , podemos usar a relação:

φ = 0,023 R e 0,2

φ = 0,023 1,12 ⋅ 10 4 0,2

φ = 0,00356

Passo 2

Voltando para a analogia de Von Kármán:

γ = 1 + 5 ⋅ 0,00356 740 - 1 + l n 1 + 5 ⋅ 740 / 6 - 1

γ = 0,07008

Agora sim podemos encontrar nosso coeficiente convectivo:

k m = 0,07008 ⋅ 4,09 ⋅ 10 - 3 2 ⋅ 64

k m = 0,011

Pronto! Conseguimos!

Resposta

k m = 0,011

Exercício Resolvido #8

Determinar a taxa de transferência de massa da água evaporada de um reservatório

retangular contendo água, quando exposta a uma corrente de ar atmosférico a 25°C

escoando a 2 m/s. Considere que a corrente de ar seco esteja escoando sobre uma bandeja de 45 cm de espessura e 20 cm de comprimento. A difusividade do vapor no ar vale 0,26 ⋅ 10 - 4   m 2 / s .

Dado: v = 0,68 ⋅ 10 - 4 m 2 / s

Passo 1

Estamos trabalhando com um reservatório retangular e vamos considerar que estamos com um tubo liso… Isso é para que a gente possa usar a analogia de Chilton-Colburn!

Vamos começar encontrando o coeficiente médio de atrito:

φ = C f 2 = 0,023 R e 0,2

Precisamos do número de Reynolds, mas antes disso vamos encontrar o diâmetro hidráulico do reservatório:

D H = 2 a b a + b

Como temos a e b , vamos encontrar o diâmetro como sendo:

D H = 2 ⋅ 0,45 ⋅ 0,20 0,45 + 0,20

D H = 0,28

Agora voltando ao Reynolds, vamos ter:

R e = D ⋅ u _ v

R e = 0,28 ⋅ 2 0,68 ⋅ 10 - 4

R e = 8235,3

Passo 2

Voltando lá no coeficiente de atrito, ficaremos com:

φ = C f 2 = 0,023 8235,3 0,2

φ = C f 2 = 3,79 ⋅ 10 - 3

Então temos que:

S t M ⋅ S c   2 / 3 = C f 2

S t M ⋅ S c   2 / 3 = 3,79 ⋅ 10 - 3

E sendo:

S t M = k m u _

Nós podemos dizer que:

k m u _ ⋅ S c   2 / 3 = 3,79 ⋅ 10 - 3

Ficaremos então:

k m = 3,79 ⋅ 10 - 3 ⋅ S c     - 2 / 3 ⋅ u _

Opa! Tá faltando encontrar o número de Schmidt:

S c = v D A B

S c = 0,68 ⋅ 10 - 4 0,26 ⋅ 10 - 4 = 2,62

Teremos então que o nosso coeficiente convectivo de massa, será:

k m = 2,03 ⋅ 10 - 3 ⋅ 2,62     - 2 / 3 ⋅ 2

k m = 0,0021   m / s

Show de bola!

Resposta

O coeficiente convectivo de massa é:

k m = 0,0021   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Fez-se escoar ar seco a 5m / s sobre uma lâmina quadrada de madeira de 2 m embetida por uma fina película aderente de álcool etílico. Sabendo que o ambiente está a 20° C e 1a t m . determine o valor d
Ar úmido a 45 ° C ,1a t m ,90% de umidade relativa e a 20m / s escoa sobre uma placa plana horizontal parada embebida por uma fina película de água também a 45° Cd e1m de comprimento. Determine o valo
Refaça o exercício anterior considerando um cilindro de 1c m de diâmetro e 3c m de comprimento como sendo o corpo de prova.
Considere uma esfera de 2c m de diâmetro de naftaleno exposta a uma corrente de ar seco que escoa a uma velocidade de 0,4m / s . O ar está a 46 ° Ce1a t m, nessas condições, a pressão de vapor do naft
Considerando o exemplo ( 4.3 ) qual seria o valor do raio da esfera de naftaleno se o ar seco escoasse ao seu redor com velocidade de:a) 1m / s ;b) 3m / s ;c) 5m / s .