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Escoamento Anular entre Tubos Concêntricos

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Teoria

Introdução

A ideia agora é trabalharmos com situações em que temos um fluido escoando na região entre duas superfícies cilíndricas, se liga:

Onde T m representa a temperatura média do fluido a um ponto qualquer da região anular.

Vamos pensar na seguinte situação:

Água entra na região anular ( D i = 25   m m e D e = 50   m m ) a 0,04   k g / s e 25 ° C . A parede do tubo interno é aquecida eletricamente a uma taxa (por unidade de comprimento) de q ' = 4000   W / m , enquanto a parede do tubo externo é termicamente isolada. A água atinge uma temperatura de 85 ° C na saída dos tubos.

O que queremos responder aqui é o seguinte:

  • Qual é a temperatura na superfície do tubo interno na saída, onde condições plenamente desenvolvidas podem ser consideradas?

    • A temperatura na superfície interna pode ser calculada da seguinte forma:

    q i n t ' ' = q i n t ' π . D i = h i . T s , i - T m , s a i

    T s , i = T m , s a i + q i n t ' π . D i . h i

    Ou seja, precisamos calcular o coeficiente convectivo h i entre o fluido e a superfície interna.

    À temperatura de saída T m , s a i = 85 ° C = 358   K , a água apresenta as seguintes propriedades:

    μ = 332 × 10 - 6   N . s / m 2

    k = 0,673   W / ( m . K )

    P r = 2,07

    As correlações para o número de Nusselt são divididas para escoamento laminar e escoamento turbulento. Então, antes, precisamos calcular o número de Reynolds.

    Para calculá-lo, vamos precisar do diâmetro hidráulico D h .

    Diâmetro hidráulico D h

    Esse cara é definido da seguinte forma:

    D h = 4 . A t r P

    Para regiões anulares, ele é dado por:

    Substituindo os valores do nosso problema, onde D e = 50   m m e D i = 25   m m , teremos:

    D h = 50 - 25 = 25   m m → D h = 25 × 10 - 3   m

    Agora podemos calcular o número de Reynolds, dado por:

    Onde a área transversal é dada por:

    A t r = π . D e 2 - D i 2 4 = π × 50 × 10 - 3 2 - 25 × 10 - 3 2 4

    A t r = 1,5 × 10 - 3   m

    Voltando ao número de Reynolds:

    R e D = 0,04 × 25 × 10 - 3 1,5 × 10 - 3 × 332 × 10 - 6

    R e D = 2045

    Como R e D < 2300 , estamos no regime laminar.

    Correlações para Escoamentos Anular entre Tubos Concêntricos

    Para o escoamento laminar, nós temos duas situações possíveis.

    No caso de uma superfície isolada e outra com temperatura constante, os valores para o número de Nusselt para a transferência de calor com a superfície interna N u i e externa N u e são dados na seguinte tabela:

    Agora, no caso de fluxo térmico uniforme em ambas as superfícies, os números de Nusselt para as superfícies interna e externa serão dados por:

    Onde os coeficientes N u i i , N u e e , θ i * e θ e * são dados na tabela abaixo:

    Se liga! Os fluxos térmicos podem ser positivos ou negativos, de acordo com a seguinte convenção:

  • O fluxo q ' ' é positivo se o calor está sendo transferido para o fluido;
  • O fluxo q ' ' é negativo se o calor está saindo do fluido.

Para o escoamento turbulento, podemos usar a seguinte correlação:

Onde:

  • n = 0,4 para T s > T m ;
  • n = 0,3 para T s < T m .

Voltando ao nosso problema

No nosso caso, como estamos trabalhando em um escoamento laminar, uma superfície com fluxo térmico uniforme q i ' ' e outra superfície isolada q e ' ' = 0 , temos que, para D i / D e = 0,5 :

N u i i = 6,25

θ i * = 0,583

Os valores acima foram encontrados fazendo uma média entre os valores para D i / D e iguais a 0,4 e 0,6.

Substituindo os valores na expressão do número de Nusselt para a superfície interna:

N u i = N u i i 1 - q e ' ' q i ' ' . θ i * = 6,25 1 - 0 q i n t ' ' × 0,583

N u i = 6,25

O coeficiente convectivo interno será:

h i = N u i . k D h = 6,25 × 0,673 25 × 10 - 3 → h i = 168   W / ( m 2 . K )

Finalmente, a temperatura da superfície interna na saída da tubulação, será:

T s , i = T m , s a i + q i n t ' π . D i . h i

T s , i = 85 + 4000 π × 25 × 10 - 3 × 168

Show de bola! Agora estamos prontos pra cair nos exercícios!

Diâmetro hidráulico D h

Correlações para Escoamentos Anular entre Tubos Concêntricos

Voltando ao nosso problema

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

É prática comum recuperar calor em fornalhas que queimam óleo ou gás através da utilização dos gases de exaustão no preaquecimento do ar de combustão.

Um dispositivo normalmente utilizado para esse propósito é composto por um arranjo de tubos concêntricos no qual os gases de exaustão escoam no tubo interno e o ar de combustão, mais frio, escoa pela região anular.

Considere condições nas quais há uma taxa de transferência de calor uniforme por unidade de comprimento do tubo, q i ' = 1,25 × 10 5   W / m , dos gases de exaustão para a superfície interna do tubo interno, enquanto o ar escoa pela passagem anular a uma vazão de m ˙ a = 2,1   k g / s .

O tubo interno, com parede delgada, tem diâmetro D i = 2   m , enquanto o tubo externo, que está isolado da vizinhança, possui diâmetro D e = 2,05   m . As propriedades do ar podem ser consideradas iguais a c p = 1030   J / ( k g . K ) , μ = 270 × 10 - 7   N . s / m 2 , k = 0,041   W / ( m . K ) e P r = 0,68 .

a Se o ar entra no arranho a T a , 1 = 300   K e L = 7   m , qual é a temperatura do ar na saída T a , 2 ?

b Se o escoamento do ar é plenamente desenvolvido ao longo de toda a região anular, qual é a temperatura do tubo interno nas seções de entrada T s , i , 1 e de saída T s , i , 2 do arranjo? Qual é a temperatura do tubo externo na entrada do arranjo T s , e , 1 ?

Passo 1

a Se o ar entra no arranho a T a , 1 = 300   K e L = 7   m , qual é a temperatura do ar na saída T a , 2 ?

Como o problema já nos deu as propriedades do ar, podemos determinar a temperatura de saída do ar da seguinte forma:

q = q i ' . L = m ˙ a . c p . T a , 2 - T a , 1

T a , 2 = T a , 1 + q i ' . L m ˙ a . c p

Substituindo os valores, teremos:

T a , 2 = 300 + 1,25 × 10 5 × 7 2,1 × 1030

Passo 2

b Se o escoamento do ar é plenamente desenvolvido ao longo de toda a região anular, qual é a temperatura do tubo interno nas seções de entrada T s , i , 1 e de saída T s , i , 2 do arranjo? Qual é a temperatura do tubo externo na entrada do arranjo T s , e , 1 ?

A temperatura superficial é será dada por:

q ' ' = h . T s - T m

T s = T m + q ' ' h

Ou seja, precisamos determinar o coeficiente convectivo pra cada caso, beleza?

Passo 3

Para calcular os coeficientes convectivos, precisamos do número de Nusselt, já que:

h = N u . k D h

Para calcular o número de Nusselt, precisamos do número de Reynolds, dado por:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ

Onde:

D h = D e - D i = 2,05 - 2

D h = 0,05   m

A t r = π . D e 2 - D i 2 4 = π × 2,05 2 - 2 2 4

A t r = 0,1 59   m 2

Substituindo os valores:

R e D = 2,1 × 0,05 0,1 59 × 270 × 10 - 7 → R e D = 24 . 458

Opa! Como R e D > 2300 , estamos no regime turbulento.

Passo 4

Como estamos no regime turbulento, o número de Nusselt será o mesmo tanto para a superfície interna, quanto para a superfície externa, e será dada por:

N u = 0,023 . R e D 4 / 5 . P r 0,4

Substituindo os valores:

N u = 0,023 × 24.458 4 / 5 × 0,68 0,4

N u = 63,9

Os coeficientes convectivos nas superfícies interna e externa serão:

h i = h e = N u . k D h = 63,9 × 0,041 0,05 = 52,4   W / ( m 2 . K )

Agora já podemos determinar as temperaturas que o problema pede.

Passo 5

Como vimos lá no Passo 1, a temperatura de qualquer ponto da superfície é dada por:

T s = T m + q ' ' h

  • Temperatura do tubo interno nas seções de entrada T s , i , 1 :

    • Como estamos trabalhando na seção de entrada:

    T s , i , 1 = T a , 1 + q i ' ' h i

    Onde:

    q i ' ' = q ' π D i = 1,25 × 10 5 π × 2 → q ' ' = 19.900   W / m 2

    Logo:

    T s , i , 1 = 300 + 19900 52,4

    Passo 4

  • Temperatura do tubo interno nas seções de saída T s , i , 2 :

    • Agora, como estamos trabalhando na seção de saída:

    T s , i , 2 = T a , 2 + q e ' ' h e

    Onde:

    q e ' ' = q ' π D e = 1,25 × 10 5 π × 2 , 05 → q ' ' = 19 . 409   W / m 2

    Logo:

    T s , i , 2 = 704,5 + 19 409 52,4

    Passo 5

  • Temperatura do tubo externo na entrada do arranjo T s , e , 1 :

Como não temos fluxo térmico na superfície externa:

q e ' ' = 0 → T s , e , 1 - T a , 1 = 0

T s , e , 1 = T a , 1

Resposta

a

T a , 2 = 704,5   K

b

T s , i , 1 = 680   K

T s , i , 2 = 1075   K

T s , e , 1 = 300   K

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptado) Um arranjo de tubos concêntrico, para o qual os diâmetros interno e externo são 80   m m e 100   m m , respectivamente, é usado para remover calor de uma reação bioquímica ocorrendo em um tanque de repouso.

Calor é gerado uniformemente no interior do tanque a uma taxa de 10 5   W / m 2 e uma vazão de 0,2   k g / s de água é alimentada na região anular.

Determine a temperatura de entrada da água vinda do suprimento que irá manter uma temperatura da superfície do tanque média de 37 ° C . Suponha escoamento e condições térmicas plenamente desenvolvidas.

Utilize as seguintes propriedades para a água:

ρ = 995,6   k g / m 3

c p = 4178   J / ( k g . K )

υ = 7,987 × 10 - 7   m 2 / s

k = 0,618   W / ( m . K )

P r = 5,39

Passo 1

O drama aqui é que não temos nem a temperatura de entrada T m , e n t e nem a de saída T m , s a i , então precisamos dar um jeito de encontra-las.

Bom, a taxa de calor transferida para a água é dada por:

q = m ˙ . c p . T m , s a i - T m , e n t

O problema nos deu o calor gerado na superfície interna, e sabemos que a superfície externa é termicamente isolada q e ' ' = 0 .

Dessa forma, a taxa de transferência de calor será:

q = q ˙ . π . D i 2 4 . L = 1 × 10 5 × π × 80 × 10 - 3 2 4 × 1

q = 503   W

Ao mesmo tempo, podemos associar a taxa de transferência de calor entre o fluido e a superfície interna da seguinte forma:

q = h i . A s , 1 . T s - T m

Onde T m = T m , s a i + T m , e n t / 2 ..

Opa! Então podemos encontrar a temperatura média reorganizando a equação acima:

T m = T s - q h i . A s , 1

Ao encontrarmos a temperatura média, podemos encontrar as temperaturas de entrada e saída reorganizando a primeira equação que vimos:

T m , s a i = T m , e n t + q m ˙ . c p

T m = T m , s a i + T m , e n t 2

Ou seja, precisamos do danado do coeficiente convectivo na superfície interna h i .

Passo 2

Começando pelo número de Reynolds, temos que:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ

Onde:

D h = D e - D i = 100 - 80 = 20   m m

D h = 0,02   m

A t r = π . D e 2 - D i 2 4 = π × 0,1 2 - 0,08 2 4

A t r = 2,827 × 10 - 3   m 2

μ = ρ . υ = 995,6 × 7,987 × 10 - 7

μ = 7,95 × 10 - 4   N . s / m 2

Substituindo na expressão do número de Reynolds:

R e D = 0,2 × 0,02 2,827 × 10 - 3 × 7,95 × 10 - 4 → R e D = 1779

Opa! Estamos no regime laminar! Como estamos trabalhando em um caso onde há fluxo térmico na superfície interna q i ' ' , e uma superfície externa termicamente isolada q e ' ' = 0 , temos que:

D i D e = 80 100 = 0,8

N u i i = 5,58

θ i * = 0,401

Logo:

N u i = N u i i 1 - q e ' ' q i ' ' . θ i * = 5,58 1 - 0 q i ' ' × 0,401

N u i = 5,58

Finalmente, o coeficiente convectivo será:

h i = N u i . k D h = 5,58 × 0,618 0,02

h i = 172   W / ( m 2 . K )

Passo 3

A temperatura média será:

T m = T s + q h i . A s , i = T s - q h i . π . D i . L

T m = 37 - 503 172 × π × 0,08 × 1

T m = 25,4 ° C

Passo 4

Agora que já temos a temperatura média, podemos encontrar a temperatura de entrada da seguinte forma:

T m = T m , s a i + T m , e n t 2 → T m , s a i = 2 . T m - T m , e n t

Substituindo isso na expressão abaixo, teremos:

T m , s a i = T m , e n t + q m ˙ . c p

2 . T m - T m , e n t = T m , e n t + q m ˙ . c p

Agora é só arrumar a bagunça.

2 . T m , e n t = 2 . T m - q m ˙ . c p

T m , e n t = T m - q 2 . m ˙ . c p

Substituindo os valores:

T m , e n t = 25,4 - 503 2 × 0,2 × 4178

Resposta

T m , e n t = 25,1 ° C