Escoamento em Dutos Não-Circulares

Teoria Completa

Introdução

Aqui estamos interessados em trabalhar com o escoamento em dutos cuja seção transversal pode variar de diversas formas.

Por exemplo, vamos resolver a seguinte situação:

Temos um duto de perfil triangular, com 20   m m de lado e 2   m de comprimento, por onde escoa ar com vazão mássica e temperatura média de entrada iguais a, respectivamente 4 × 10 - 4   k g / s e 27 ° C . A superfície do duto é mantida a 100 ° C .

O que queremos responder aqui é: admitindo escoamento plenamente desenvolvido ao longo de todo o duto, qual é a temperatura média de saída do ar?

Assim como fizemos no caso do duto circular, vamos ter que “chutar” uma temperatura de saída para determinarmos as propriedades do ar à temperatura de referência, dada por:

Nesse caso, como a temperatura de entrada T m , e n t = 27 ° C e a superfície é mantida a uma temperatura T s = 100 ° C , vamos chutar aqui uma temperatura de saída T m , s a i = 77 ° C . Fazendo isso, teremos uma temperatura média igual a:

T m = 27 + 77 2 = 52 ° C = 325   K

A essa temperatura, de acordo com a tabela A.4 do Incropera para as propriedades do ar, temos que:

c p = 1008   J / ( k g . K )

μ = 196,4 × 10 - 7   N . s / m 2

k = 0,0282   W / ( m . K )

P r = 0,707

Show de bola! Como temos temperatura superficial constante, a temperatura de saída será dada por:

Dessa equação, temos praticamente tudo, exceto o coeficiente convectivo h - , então vamos atrás desse cara.

As correlações para o número de Nusselt são divididas para escoamento laminar e escoamento turbulento. Então, antes, precisamos calcular o número de Reynolds.

Lá e de volta outra vez

Hora de bater aquele papo maroto sobre o número de Reynolds, dado por:

“Beleza! Mas se o duto é não-circular, que valor vamos utilizar para o diâmetro?!”

Nesse caso, nós vamos utilizar o diâmetro hidráulico D h , definido por:

Onde A t r corresponde à área da seção transversal, e P corresponde ao perímetro da seção transversal.

No nosso caso, vamos ter o seguinte:

A t r = B a s e × A l t u r a 2 = 3 W 2 4 = 3 × 20 × 10 - 3 2 4

A t r = 1,73 × 10 - 4   m 2

P = 3 W = 3 × 20 × 10 - 3 → P = 0,06   m

D h = 4 × 1,73 × 10 - 4 0,06 → D h = 0,0115

Assim, o número de Reynolds será:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ = 4 × 10 - 4 × 0,0115 1,73 × 10 - 4 × 196,4 × 10 - 7

R e D = 1354

Show de bola, como número de Reynolds é menor que 2300, significa que o escoamento está no regime laminar.

Então estamos prontos pra olhar para as correlações para o número de Nusselt.

Correlações para Escoamento em Dutos Não-Circulares

Para o caso de escoamento laminar, o número de Nusselt N u D é obtido a partir da tabela abaixo:

Agora, se o escoamento for turbulento, nós podemos utilizar as mesmas correlações que utilizamos para dutos circulares, se liga:

No nosso caso, como temos um escoamento laminar em um duto com seção transversal triangular, e com temperatura superficial constante, o número de Nusselt será:

N u - D = 2,49

Voltando ao nosso problema

Como já temos o número de Nusselt, o coeficiente convectivo será dado por:

h - = N u - D . k D h = 2,49 × 0,0282 0,0115 → h - = 6,1   W / ( m 2 . K )

Finalmente, a temperatura de saída será dada por:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t . exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

Substituindo os valores, teremos:

T m , s a i = 100 - 100 - 27 . exp ⁡ - 3 × 20 × 10 - 3 × 2 4 × 10 - 4 × 1008 × 6,1

Jogando isso tudo na calculadora, vamos encontrar que:

Nesse caso, a diferença entre a temperatura que encontramos e a que utilizamos no nosso “chute” lá no inicio é pequena, então não precisamos refazer o problema. :)

Vamos fixar isso melhor nos exercícios?! Responde Aí! ;)

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Ar, a 3 × 10 - 4   k g / s e 27 ° C , entra em um duto retangular que possui 1   m de comprimento e 4   m m por 16   m m de lado. Um fluxo térmico uniforme de 600   W / m 2 é imposto na superfície do duto.

Qual é a temperatura do ar e da superfície do duto na sua saída?

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Passo 1

Logo de cara, vamos chutar um valor para a temperatura de saída pra definirmos as propriedades do ar.

Como a temperatura de entrada é de 27 ° C   300   K , vamos chutar aqui uma temperatura de saída de 400   K para determinar as propriedades do ar.

Nesse caso:

T m = T m , e n t + T m , s a i 2 = 300 + 400 2 → T m = 350   K

De acordo com a tabela A.4, para as propriedades do ar a 350   K , temos:

c p = 1009   J / ( k g . K )

μ = 208,2 × 10 - 7   N . s / m 2

k = 0,03   W / ( m . K )

P r = 0,7

Passo 2

Como há um fluxo térmico constante na superfície do duto, a temperatura do ar na saída será dada por:

T m , s a i = T m , e n t + q ' ' . A s m ˙ . c p

Onde A s corresponde a toda área superficial do tubo, dada por:

A s = 2 × L × H + 2 × L × W

A s = 2 × 1 × 16 × 10 - 3 + 2 × 1 × 4 × 10 - 3 → A s = 0,04   m 2

Logo:

T m , s a i = 300 + 600 × 0,04 3 × 10 - 4 × 1009

Passo 3

A superfície do duto na região de saída e o ar trocam calor por convecção, de forma que o fluxo térmico é justamente o dado pelo enunciado.

Logo, a temperatura superficial na saída do duto T s , s a i será dada por:

q ' ' = h . T s , s a i - T m , s a i

T s , s a i = T m , s a i + q ' ' h

Show de bola! Então agora precisamos calcular o coeficiente convectivo.

Passo 4

Pra calcular o coeficiente convectivo, precisamos do número de Nusselt, já que:

h = N u D . k D h

Onde o diâmetro hidráulico será dado por:

D h = 4 . A t r P = 4 × 16 × 10 - 3 × 4 × 10 - 3 2 × 16 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 → D h = 6,4 × 10 - 3   m

O número de Reynolds é dado por:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ = 3 × 10 - 4 × 6,4 × 10 - 3 16 × 10 - 3 × 4 × 10 - 3 × 208,2 × 10 - 7

R e D = 1441 < 2300

Como estamos no regime laminar, o número de Nusselt é dado pelo valor da tabela na Teoria.

Para b / a = 16 / 4 = 4 :

N u D = 5,33

Dessa forma, o coeficiente convectivo será:

h = N u D . k D h = 5,33 × 0,03 6,4 × 10 - 3 → h = 25   W / ( m 2 . K )

Passo 5

Finalmente, a temperatura superficial na saída do duto será:

T s , s a i = T m , s a i + q ' ' h

Substituindo os valores:

T s , s a i = 379 + 600 25

Resposta

T m , s a i = 379,3   K

T s , s a i = 403   K

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptado) Ar a 25 ° C escoa com uma vazão de 30 × 10 - 6   k g / s através de canais com 100   m m de comprimento usados para resfriar um molde metálico de alta condutividade térmica. Suponha que o escoamento esteja fluidodinâmica e termicamente plenamente desenvolvido.

Considere o ar escoando em um canal segmentado em seis seções triangulares de lado a = 5,1   m m . Determine o calor transferido para o ar, quando a temperatura do molde é de 50 ° C .

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Passo 1

Como não temos a temperatura de saída e este é um problema com temperatura superficial constante, vamos precisar chutar uma temperatura de saída para definir as propriedades do fluido.

Como temos uma temperatura de entrada igual a 25 ° C e o molde está a uma temperatura de 50 ° C , vamos chutar uma temperatura de saída de 49 ° C , bem próximo da temperatura do molde.

Assim, a média das temperaturas de entrada e saída será:

T m = T m , e n t + T m , s a i 2 = 25 + 49 2 = 37 ° C = 310   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, para o ar a esta temperatura, temos que:

ρ = 1,128   k k g / m 3

c p = 1007   J / ( k g . K )

μ = 189,3 × 10 - 7   N . s / m 2

k = 0,027   W / ( m . K )

Agora estamos prontos pra seguir em frente.

Passo 2

A taxa de transferência de calor será dada por:

q = m . c p . T m , s a i - T m , e n t

Onde a temperatura de saída é dada por:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - P . L m ˙ . c p   h -

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t . exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

Pra calcular o coeficiente convectivo, vamos precisar do número de Nusselt:

h - = N u - D . k D h

Então vamos calculá-lo.

Passo 3

Para calcular o número de Nusselt, precisaremos do número de Reynolds, dado por:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ

Onde o diâmetro hidráulico é dado por:

D h = 4 . A t r P

A t r = B a s e × A l t u r a 2 = 3 a 2 4 = 1,13 × 10 - 5 m 2

P = 3 a

D h = 4 × 3 a 2 / 4 3 a = 3 a 3 = 3 × 5,1 × 10 - 3 3 → D h = 2,9 × 10 - 3   m

Além disso, como estamos calculando o número de Reynolds em relação para um dos canais, precisamos dividir o fluxo mássico por 6. Dessa forma, o fluxo mássico através de cada canal será:

m ˙ 1 = 30 × 10 - 6 6 = 5 × 10 - 6

Substituindo os valores:

R e D = 5 × 10 - 6 × 2,9 × 10 - 3 1,13 × 10 - 5 × 189,3 × 10 - 7 = 67,78

Opa! Estamos no regime laminar. Assim, pela tabela na teoria, considerando o caso de temperatura superficial constante, o número de Nusselt será:

N u D = 2,49

Assim, o coeficiente convectivo será:

h - = N u - D . k D h = 2,49 × 0,027 2,9 × 10 - 3 → h - = 23,18   W / ( m 2 . K )

Passo 4

A temperatura média de saída do fluido será:

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t . exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

Substituindo os valores:

T m , s a i = 50 - 50 - 25 . exp ⁡ - 3 × 5,1 × 10 - 3 × 0,1 × 23,18 5 × 10 - 6 × 1007

T m , s a i = 49,9 ° C

Passo 5

Finalmente, a taxa de transferência de calor será:

q = m ˙ . c p . T m , s a i - T m , e n t

q = 30 × 10 - 6 × 1007 × 49,9 - 25

Resposta

q = 0,753   W

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Ar, a 1   a t m e 285   K , entra em um duto retangular com 2   m de comprimento e seção transversal de 75   m m por 150   m m . O duto é mantido a uma temperatura superficial constante de 400   K e a vazão mássica do ar é de 0,10   k g / s .

Determine a taxa de transferência de calor do duto para o ar e a temperatura de saída do ar.

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Passo 1

Logo de cara, vamos precisar chutar a temperatura de saída do ar pra determinar as propriedades do ar. Como temos o ar entrando no duto a 285   K e temperatura superficial de 400   K , vamos chutar aqui uma temperatura de saída de 365   K .

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, para o ar a essa temperatura, temos:

c p = 1008   J / ( k g . K )

μ = 196,4 × 10 - 7   N . s / m 2

k = 0,0282   W / ( m . K )

P r = 0,707

Vamos seguir em frente.

Passo 2

A taxa de transferência de calor será dada por:

q = m . c p . T m , s a i - T m , e n t

Já a temperatura de saída é dada por:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - P . L m ˙ . c p   h -

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t . exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

Vamos precisar então do coeficiente convectivo!

Passo 3

Pra calcular o coeficiente convectivo, vamos precisar do número de Nusselt, se liga:

h - = N u - D . k D h

Para calcular o número de Nusselt, precisaremos do número de Reynolds, dado por:

R e D = 4 . m ˙ π . D h . μ

Onde o diâmetro hidráulico é dado por:

D h = 4 . A t r P = 4 × 150 × 10 - 3 × 75 × 10 - 3 2 × 150 × 10 - 3 + 75 × 10 - 3

D h = 0,10   m

Substituindo os valores:

R e D = 4 × 0,1 π × 0,1 × 196,4 × 10 - 7 → R e D = 64.829

Opa! Estamos no regime turbulento. Assim, pela tabela na teoria, podemos usar a seguinte relação:

N u D - = 0,023 . R e D 4 / 5 . P r 0,4 = 0,023 × 64.829 4 / 5 × 0,707 0,4

N u D - = 141,5