Escoamento em Dutos Não-Circulares

Teoria Completa

Introdução

Aqui estamos interessados em trabalhar com o escoamento em dutos cuja seção transversal pode variar de diversas formas.

Por exemplo, vamos resolver a seguinte situação:

Temos um duto de perfil triangular, com 20   m m de lado e 2   m de comprimento, por onde escoa ar com vazão mássica e temperatura média de entrada iguais a, respectivamente 4 × 10 - 4   k g / s e 27 ° C . A superfície do duto é mantida a 100 ° C .

O que queremos responder aqui é: admitindo escoamento plenamente desenvolvido ao longo de todo o duto, qual é a temperatura média de saída do ar?

Assim como fizemos no caso do duto circular, vamos ter que “chutar” uma temperatura de saída para determinarmos as propriedades do ar à temperatura de referência, dada por:

Nesse caso, como a temperatura de entrada T m , e n t = 27 ° C e a superfície é mantida a uma temperatura T s = 100 ° C , vamos chutar aqui uma temperatura de saída T m , s a i = 77 ° C . Fazendo isso, teremos uma temperatura média igual a:

T m = 27 + 77 2 = 52 ° C = 325   K

A essa temperatura, de acordo com a tabela A.4 do Incropera para as propriedades do ar, temos que:

c p = 1008   J / ( k g . K )

μ = 196,4 × 10 - 7   N . s / m 2

k = 0,0282   W / ( m . K )

P r = 0,707

Show de bola! Como temos temperatura superficial constante, a temperatura de saída será dada por:

Dessa equação, temos praticamente tudo, exceto o coeficiente convectivo h - , então vamos atrás desse cara.

As correlações para o número de Nusselt são divididas para escoamento laminar e escoamento turbulento. Então, antes, precisamos calcular o número de Reynolds.

Lá e de volta outra vez

Hora de bater aquele papo maroto sobre o número de Reynolds, dado por:

“Beleza! Mas se o duto é não-circular, que valor vamos utilizar para o diâmetro?!”

Nesse caso, nós vamos utilizar o diâmetro hidráulico D h , definido por:

Onde A t r corresponde à área da seção transversal, e P corresponde ao perímetro da seção transversal.

No nosso caso, vamos ter o seguinte:

A t r = B a s e × A l t u r a 2 = 3 W 2 4 = 3 × 20 × 10 - 3 2 4

A t r = 1,73 × 10 - 4   m 2

P = 3 W = 3 × 20 × 10 - 3 → P = 0,06   m

D h = 4 × 1,73 × 10 - 4 0,06 → D h = 0,0115

Assim, o número de Reynolds será:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ = 4 × 10 - 4 × 0,0115 1,73 × 10 - 4 × 196,4 × 10 - 7

R e D = 1354

Show de bola, como número de Reynolds é menor que 2300, significa que o escoamento está no regime laminar.

Então estamos prontos pra olhar para as correlações para o número de Nusselt.

Correlações para Escoamento em Dutos Não-Circulares

Para o caso de escoamento laminar, o número de Nusselt N u D é obtido a partir da tabela abaixo:

Agora, se o escoamento for turbulento, nós podemos utilizar as mesmas correlações que utilizamos para dutos circulares, se liga:

No nosso caso, como temos um escoamento laminar em um duto com seção transversal triangular, e com temperatura superficial constante, o número de Nusselt será:

N u - D = 2,49

Voltando ao nosso problema

Como já temos o número de Nusselt, o coeficiente convectivo será dado por:

h - = N u - D . k D h = 2,49 × 0,0282 0,0115 → h - = 6,1   W / ( m 2 . K )

Finalmente, a temperatura de saída será dada por:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t . exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

Substituindo os valores, teremos:

T m , s a i = 100 - 100 - 27 . exp ⁡ - 3 × 20 × 10 - 3 × 2 4 × 10 - 4 × 1008 × 6,1

Jogando isso tudo na calculadora, vamos encontrar que:

Nesse caso, a diferença entre a temperatura que encontramos e a que utilizamos no nosso “chute” lá no inicio é pequena, então não precisamos refazer o problema. :)

Vamos fixar isso melhor nos exercícios?! Responde Aí! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Ar, a 3 × 10 - 4   k g / s e 27 ° C , entra em um duto retangular que possui 1   m de comprimento e 4   m m por 16   m m de lado. Um fluxo térmico uniforme de 600   W / m 2 é imposto na superfície do duto.

Qual é a temperatura do ar e da superfície do duto na sua saída?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Logo de cara, vamos chutar um valor para a temperatura de saída pra definirmos as propriedades do ar.

Como a temperatura de entrada é de 27 ° C   300   K , vamos chutar aqui uma temperatura de saída de 400   K para determinar as propriedades do ar.

Nesse caso:

T m = T m , e n t + T m , s a i 2 = 300 + 400 2 → T m = 350   K

De acordo com a tabela A.4, para as propriedades do ar a 350   K , temos:

c p = 1009   J / ( k g . K )

μ = 208,2 × 10 - 7   N . s / m 2

k = 0,03   W / ( m . K )

P r = 0,7

Passo 2

Como há um fluxo térmico constante na superfície do duto, a temperatura do ar na saída será dada por:

T m , s a i = T m , e n t + q ' ' . A s m ˙ . c p

Onde A s corresponde a toda área superficial do tubo, dada por:

A s = 2 × L × H + 2 × L × W

A s = 2 × 1 × 16 × 10 - 3 + 2 × 1 × 4 × 10 - 3 → A s = 0,04   m 2

Logo:

T m , s a i = 300 + 600 × 0,04 3 × 10 - 4 × 1009

Passo 3

A superfície do duto na região de saída e o ar trocam calor por convecção, de forma que o fluxo térmico é justamente o dado pelo enunciado.

Logo, a temperatura superficial na saída do duto T s , s a i será dada por:

q ' ' = h . T s , s a i - T m , s a i