Método da Média Logarítmica

Teoria Completa

Introdução

Tá... talvez o nome não seja dos mais bonitos, mas esse é um cara realmente importante pra nós, porque ele vai nos ajudar a calcular a taxa de transferência de calor em um trocador de maneira mais adequada.

Até então, quando tínhamos que calcular a taxa de transferência de calor, podíamos utilizar essas equações:

q = m ˙ q . c p , q . T q , e n t - T q , s a i

q = m ˙ f . c p , f . T f , s a i - T f , e n t

Onde os índices q e f são referentes aos fluidos quente e frio, respectivamente.

Essas equações partem do princípio que os fluidos trocam calor somente entre si, e que qualquer influência das vizinhanças pode ser desconsiderada.

Agora, para calcular a taxa de transferência de calor a partir do coeficiente global de transferência de calor U , temos que usar uma diferença de temperatura adequada Δ T m l .

Onde Δ T m l é a diferença de temperatura média logarítmica, dado por:

Os índices “1” e “2” correspondem às extremidades do trocador. Na hora de calcular esse cara, não faz diferença qual extremidade você escolhe como “1” e qual você escolhe como “2”, isso não altera o valor de Δ T m l .

“Não podemos fazer simplesmente uma média das diferenças de temperatura?!”

Não, não podemos fazer isso porque a diferença de temperatura Δ T entre os fluidos quente e frio varia ao longo do trocador de calor. Assim, usar a diferença de temperatura média logarítmica é a forma mais adequada pra calcularmos a taxa de transferência de calor.

Vamos pensar na seguinte situação:

Temos um trocador de calor de escoamento paralelo, com 100   m m de diâmetro e 130   m de comprimento, onde água c p , f = 4183   J / ( k g . K ) entra a 30 ° C e sai a 80 ° C com vazão mássica de 3   k g / s , enquanto gases quentes em escoamento anular entram no trocador a 225 ° C e o deixam a 100 ° C .

O que queremos saber aqui é: qual é o coeficiente global de transferência de calor U do trocador?

Pra isso, precisamos saber como tratar da diferença de temperatura média logarítmica para diferentes trocadores, começando justamente pelo caso que estamos trabalhando.

Trocador de Calor de Escoamento Paralelo

Nesse tipo de trocador, como temos os fluidos quente e frio entrando no trocador no mesmo ponto.

Assim que eles entram (fluido quente a temperatura máxima e fluido frio a temperatura mínima), a diferença entre as suas temperaturas é máxima, e vai decaindo ao longo do trocador.

Graficamente, a temperatura dos fluidos varia dessa forma:

Assim, para trocadores de calor de escoamento paralelo, as diferenças de temperatura serão:

Logo, para o nosso problema:

Δ T 1 = T q , e n t - T f , e n t = 225 - 30 = 195 ° C

Δ T 2 = T q , s a i - T f , s a i = 100 - 80 = 20 ° C

Δ T m l = Δ T 1 - Δ T 2 ln ⁡ Δ T 1 Δ T 2 = 195 - 20 ln ⁡ 195 20 → Δ T m l = 76,8 ° C

Daqui, já podemos até resolver o nosso problema, uma vez que a taxa de transferência de calor pode ser dada por:

q = m ˙ f . c f , q . T f , s a i - T f , e n t = 3 × 4183 × 80 - 30

q = 627,5 × 10 3   W

Finalmente, o coeficiente global de transferência de calor será dado por>

q = U . A . Δ T m l → U = q A . Δ T m l = q π . D . L . Δ T m l

Substituindo os valores:

U = 627,5 × 10 3 π × 0,1 × 130 × 76,8

Show de bola! Resolvemos o nosso problema, agora temos que saber como proceder se o trocador de calor for diferente.

Trocador de Calor de Escoamento Contracorrente

Diferente do trocador de calor de escoamento paralelo, neste caso os fluidos quente e frio entram por extremidades opostas, como mostra a figura.

Dessa forma, esse trocador proporciona a transferência de calor entre as porções mais quentes dos dois fluidos em uma extremidade, bem como entre as porções mais frias dos dois fluidos na outra extremidade.

Graficamente, a temperatura nos dois fluidos varia da seguinte forma:

Na prática, a diferença é que as diferenças de temperaturas Δ T 1 e Δ T 2 serão dadas por:

E se tivermos outros tipos de Trocadores de Calor?!

Nesse caso, a gente pode simplesmente multiplicar a diferença de temperatura média logarítmica por um fator de correção, também chamado de fator de forma F , da seguinte forma:

Onde Δ T m l , C F é a diferença de temperatura média logarítmica para o caso de um trocador de calor contracorrente, então vamos ter que calcular esse cara considerando as diferenças de temperatura que acabamos de ver, ou seja:

O fator de correção é basicamente utilizado para o trocador de calor casco e tubo e o trocador de calor de escoamento cruzado.

“Show de bola! Mas como eu calculo esse cara?!”

Bem, a gente vai pegar o seu valor através de gráficos, se liga:

  • Trocador de casco e tubo:
  • Para o caso de 2, 4, 6, ... (qualquer múltiplo de 2) passes nos tubos:

    Para o caso de 4, 8, 12, ... (qualquer múltiplo de 4) passes no tubos:

  • Trocador de calor de escoamento cruzado:

Para o caso de um único passe e com os dois fluidos sem mistura.

No caso de um único passe, com um fluido com mistura e outro fluido sem mistura:

Para encontrar o valor correspondente nos gráficos, temos que calcular as seguintes grandezas:

R = T 1 - T 2 t 2 - t 1

P = t 2 - t 1 T 1 - t 1

Só fique esperto que no trocador de calor de casco e tubo, " T " representa a temperatura no casco e " t " representa a temperatura no tubo.

Obs.: Nos casos em que há mudança de estado físico no trocador, como não há variação de temperatura T 1 = T 2 , o termo R será nulo e o fator de correção será F = 1 .

Vamos colocar isso tudo em prática? Responde Aí!

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Exercício Resolvido #1

ÇENGEL, YUNUS A. Transferência de Calor de Massa, Uma Abordagem Prática. 3ed.

Um trocador de calor de tubo duplo de escoamento paralelo é utilizado para aquecer água fria com água quente. A água quente c p = 4,25   k J / ( k g . ° C ) entra no tubo a 85 ° C com uma taxa de 1,4   k g / s e deixa-o a 50 ° C .

O trocador de calor não é bem isolado e estima-se que 3 % do calor fornecido pelo fluido quente é perdido no trocador de calor.

Se o coeficiente global de transferência de calor e a superfície do trocador de calor são 1150   W / ( m 2 . ° C ) e 4   m 2 , respectivamente, determinar a taxa de transferência de calor para a água fria e a diferença de temperatura média logarítmica para este trocador de calor.

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Passo 1

Vamos começar pela taxa de transferência de calor para a água fria.

A taxa de transferência de calor que sai da água quente é dada por:

q q = m ˙ q . c p , q . T q , e n t - T q , s a i

Como já temos os dados da água quente, basta substituir os valores, onde:

m ˙ q = 1,4   k g / s

c p , q = 4,25 k J k g . ° C = 4 25 0 J k g . ° C

Logo:

q q = 1,4 × 4,25 × 10 3 × 85 - 50

q q = 208.250   W = 208 , 25   k W

No entanto, 3% do calor fornecido pelo fluido quente é perdido no trocador de calor, de forma que somente 97% é transferido para a água fria. Logo:

q f = 0,97 . q q = 0,97 × 208,25

Passo 2

Agora que temos a taxa de transferência de calor que é efetivamente trocada entre os fluidos, podemos encontrar a diferença de temperatura média logarítmica através da seguinte expressão:

q = U . A . Δ T m l → Δ T m l = q U . A

Onde:

q = 202   k W = 202 × 10 3   W

U = 1150   W / ( m 2 . ° C )

A = 4   m 2

Logo:

Δ T m l = 202 × 10 3 1150 × 4

Resposta

q f = 202   k W

Δ T m l = 43,9 ° C

Exercício Resolvido #2

ÇENGEL, YUNUS A. Transferência de Calor de Massa, Uma Abordagem Prática. 3ed.

Um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente resfria etileno glicol c p = 2560   J / ( k g . ° C ) escoando com uma taxa de 3,5   k g / s de 80 ° C a 40 ° C com água c p = 4180   J / ( k g . ° C ) que entra a 20 ° C e deixa-o a 55 ° C .

O coeficiente global de transferência de calor com base na superfície interna do tubo é de 250   W / ( m 2 . ° C ) .

Determinar a a taxa de transferência de calor, b a vazão mássica da água e c a superfície de transferência de calor na face interna do tubo.

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Passo 1

a Determinar a taxa de transferência de calor.

Podemos calcular a taxa de transferência de calor utilizando tanto os dados do fluido frio, quanto os do fluido quente:

q = m ˙ q . c p , q . T q , e n t - T q , s a i

q = m ˙ f . c p , f . T f , s a i - T f , e n t

Como temos a vazão mássica do etileno glicol, vamos usar a equação para o fluido quente, onde:

m ˙ q = 3,5   k g / s

c p , q = 2560   J / ( k g . ° C )

T q , e n t = 80 ° C

T q , s a i = 40 ° C

Logo:

q = m ˙ q . c p , q . T q , e n t - T q , s a i

q = 3,5 × 2560 × 80 - 40

q = 358.400   W

Passo 2

b Determinar a vazão mássica da água.

Agora que já temos a taxa de transferência de calor, podemos calcular a vazão mássica da água através da seguinte equação:

q = m ˙ f . c p , f . T f , s a i - T f , e n t → m ˙ f = q c p , f . T f , s a i - T f , e n t

Onde:

c p , f =   J / ( k g . ° C )

T f , s a i = 55 ° C

T f , e n t = 20 ° C

Logo:

m ˙ f = 358.400   4180 × 55 - 20

Passo 3

c Determinar a superfície de transferência de calor na face interna do tubo.

Ok, como queremos determinar a área de transferência de calor, a fórmula mais adequada é essa:

q = U . A . Δ T m l → A = q U . Δ T m l

Como já temos o coeficiente global de transferência de calor U = 250   W / ( m 2 . ° C ) , vamos precisar da diferença de temperatura média logarítmica, dada por:

Δ T m l = Δ T 1 - Δ T 2 ln ⁡ Δ T 1 Δ T 2

Já que estamos trabalhando com um trocador de calor de escoamento contra corrente, as diferenças de temperaturas Δ T 1 e Δ T 2 serão:

Δ T 1 = T q , e n t - T f , s a i = 80 - 55 → Δ T 1 = 25 ° C

Δ T 2 = T q , s a i - T f , e n t = 40 - 20 → Δ T 2 = 20 ° C

Logo:

Δ T m l = Δ T 1 - Δ T 2 ln ⁡ Δ T 1 Δ T 2 = 25 - 20 ln ⁡ 25 20

Δ T m l = 22,4 ° C

Dessa forma, a área superficial será:

A = q U . Δ T m l = 358.400 250 × 22,4

Resposta

a q = 358,4   k W

b m ˙ f = 2,45   k g / s

c A = 64   m 2

Exercício Resolvido #3

ÇENGEL, YUNUS A. Transferência de Calor de Massa, Uma Abordagem Prática. 3ed.

O vapor no condensador de vapor de uma central elétrica deve ser condensado a uma temperatura de 50 ° C h f g = 2383   k J / k g com água de refrigeração c p = 4180   J / ( k g . ° C ) de um lago nas proximidades, que entra nos tubos do condensador a 18 ° C e deixa-os a 27 ° C .

A superfície dos tubos é de 42   m 2 e o coeficiente global de transferência de calor é de 2400   W / ( m 2 . ° C ) .

Determinar a vazão mássica necessária para água de resfriamento e a taxa de condensação do vapor no condensador.

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Passo 1

Vamos nessa! A vazão mássica da água de resfriamento (fluido frio) pode ser calculada da seguinte forma:

q = m ˙ f . c p , f . T f , s a i - T f , e n t → m ˙ f = q c p , f . T f , s a i - T f , e n t

Já a taxa de condensação do vapor no condensador (fluido quente) é dada por:

q = m ˙ q . h f g → m ˙ q = q h f g

De qualquer forma, vamos precisar da taxa de transferência de calor.

Passo 2

Para isso, podemos usar a seguinte equação:

q = U . A . Δ T m l

O problema nos deu o coeficiente global de transferência de calor U = 2400   W / ( m 2 . ° C ) e a área de troca térmica A = 42   m 2 .

A diferença de temperatura média logarítmica é calculada considerando o caso de escoamento contracorrente, logo:

Δ T 1 = T q , e n t - T f , s a i = 50 - 27 → Δ T 1 = 23 ° C

Δ T 2 = T q , s a i - T f , e n t = 50 - 18 → Δ T 2 = 32 ° C

Logo:

Δ T m l = Δ T 1 - Δ T 2 ln ⁡ Δ T 1 Δ T 2 = 2 3 - 32 ln ⁡ 2 3 32

Δ T m l = 2 7 , 3 ° C

Obs.: Como há mudança defase em um dos fluidos, o fator de correção será F = 1 . Então não precisamos nos preocupar com ele nesses casos.

Dessa forma, a taxa de transferência de calor será:

q = U . A . Δ T m l = 2400 × 42 × 27,3

q = 2.751.840   W