Método da Eficiência e NUT

Teoria Completa

Introdução

Quando temos um trocador de calor onde conhecemos o coeficiente global de transferência de calor e suas temperaturas de entrada e saída, podemos determinar a taxa de transferência de calor através das seguintes equações:

q = m ˙ q . c p , q . T q , e n t - T q , s a i

q = m ˙ f . c p , f . T f , s a i - T f , e n t

Ou pelo Método da Diferença Logarítmica, dado por:

q = U . A . Δ T m l

Onde Δ T m l é a diferença de temperatura média logarítmica, dada por:

Δ T m l = Δ T 1 - Δ T 2 ln ⁡ Δ T 1 Δ T 2

Repare que nas três equações para a taxa de transferência de calor, nós precisamos saber as temperaturas de entrada e saída.

Agora, e se não tivermos as temperaturas de saída dos fluidos frio e quente?!

Vamos pensar na seguinte situação: óleo quente c p = 2200   J / k g . ° C deve ser resfriado com água c p = 4180     J / k g . ° C em um trocador de calor casco e tubo com 2 passes no casco e 12 passes nos tubos.

Os tubos são de paredes finas e são feitos de cobre com um diâmetro de 1,8   c m . O comprimento de cada passe de tubo do trocador é de 3   m e o coeficiente global de transferência de calor é de 340   W / m 2 . ° C .

O que queremos aqui é determinar a taxa de transferência de calor.

Nesse caso, como o método da média logarítmica não vai resolver a nossa vida, o método mais adequado é o Método da Eficiência e NUT.

Qual é a ideia desse método?!

Bom, ele basicamente se baseia em um parâmetro adimensional chamado efetividade da transferência do calor ε , definidor por:

Onde q corresponde à taxa de transferência de calor real (que é quem queremos calcular), dada por:

q = m ˙ q . c p , q . T q , e n t - T q , s a i = C q . T q , e n t - T q , s a i

q = m ˙ f . c p , f . T f , s a i - T f , e n t = C f . T f , s a i - T f , e n t

Em que C q e C f são as taxas de capacidade térmica dos fluidos quente e frio, respectivamente.

Enquanto q m á x corresponde à taxa de transferência de calor máxima possível, dada por:

Onde C m í n é o menor valor entre C q e C f .

Olhando pro nosso problema, vamos calcular as taxas de capacidade térmica, ver quem é menor, e calcular a taxa de transferência de calor máxima possível.

C q = m ˙ q . c p , q = 0,2 × 2200 → C p = 440   W / ° C

C f = m ˙ f . c p , f = 0,1 × 4180 → C f = 418   W / ° C

Como a taxa de capacidade térmica do fluido frio é menor:

C m í n = C f = 418   W / ° C

Dessa forma, a taxa de transferência de calor máxima possível será:

q m á x = C m í n . T q , e n t - T f , e n t = 418 × 160 - 18

Até aqui, está tudo muito lindo.

Mas como calculamos a efetividade da transferência de calor?!

A efetividade da transferência de calor ε é calculada a partir de uma série de relações, que dependem basicamente das condições do trocador de calor, se liga:

Obs.: O caso (4) é utilizado quando há mudança de fase em um dos fluidos! #ficadica

Opa! Aparecem duas grandezas que precisamos saber pra calcular a efetividade.

A primeira delas é o Número de Unidades de Transferência, ou NUT (Tcharaaam!!!), que é dado por:

A segunda grandeza que vamos precisar pra calcular a efetividade é a razão das capacidades c , dada por:

A efetividade também pode ser encontrada por meio de gráficos. Então prometo coloca-los nos final desse capítulo, caso você prefira. Ok?

Agora, caso nós tenhamos a efetividade e quisermos calcular o NUT, podemos usar a tabela abaixo:

Voltando ao nosso problema...

Bom, como já fomos devidamente apresentados ao NUT, sabemos que ele é dado por:

N U T = U . A C m í n

No nosso caso, temos o coeficiente global de transferência de calor U e a taxa de capacidade térmica mínima C m í n . A área total de transferência de calor será:

A = n . π . D . L = 12 × π × 1,8 × 10 - 2 × 3

A = 2,04   m 2

Onde n corresponde ao número de passes no tubo. Logo, o NUT será:

N U T = U . A C m í n = 340 × 2,04 418

Já a razão das capacidades será dada por:

c = C m í n C m á x = 418 440

Como estamos trabalhando com um trocador de casco e tubo, com 12 passes no tubo, de acordo com a nossa tabela, a relação mais adequada para a efetividade será:

ε = 2 1 + c + 1 + c 2 . 1 + exp ⁡ - N U T . 1 + c 2 1 - exp ⁡ - N U T . 1 + c 2 - 1

Substituindo os valores de c e N U T , teremos:

ε = 0,55

Finalmente, a taxa de transferência de calor real será:

ε = q q m á x → q = ε . q m á x = 0,55 × 59356  

q = 32.646   W

Agora já estamos prontos pra cair nos exercícios. Mas antes...

Promessa é dívida!

Como eu prometi quando falamos da efetividade, vou colocar aqui pra você os gráficos que podem ser utilizados pra calcular a efetividade.

Para trocador de calor de escoamento paralelo:

Para trocador de calor de escoamento contracorrente:

Para trocador de calor de calor casco e tubo, com um passe no casco e 2, 4, 6, ... passes nos tubos:

Para trocador de calor de calor casco e tubo, com um passe no casco e 4, 8, 12, ... passes nos tubos:

Para trocador de calor de escoamento cruzado com dois fluidos sem mistura:

Para trocador de calor de escoamento cruzado com um fluido com mistura e o outro sem mistura:

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Exercício Resolvido #1

ÇENGEL, YUNUS A. Transferência de Calor de Massa, Uma Abordagem Prática. 3ed.

Um trocador de calor de tubo duplo com parede fina e escoamento paralelo é utilizado para aquecer um produto químico, cujo calor específico é 1800   J / ( k g . ° C ) , com água quente ( c p = 4180   J / ( k g . ° C ) ) .

O produto químico entra a 20 ° C com uma taxa de 3   k g / s , enquanto a água entra a 110 ° C com uma taxa de 2   k g / s . A superfície de transferência de calor do trocador de calor é de 7   m 2 e o coeficiente global de transferência de calor é 1200   W / ( m 2 . ° C ) .

Determinar as temperaturas de saída do produto químico e da água.

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Passo 1

As temperaturas de saída podem ser calculadas pelas seguintes equações:

q = C q . T q , e n t - T q , s a i → T q , s a i = T q , e n t - q C q

q = C f . T f , s a i - T f , e n t → T f , s a i = T f , e n t + q C f

Show de bola! Nós temos as temperaturas de entrada dos fluidos, temos como calcular as taxas de capacidade térmica, mas não temos a taxa de transferência de calor.

Então vamos atrás desse cara usando o Método da Eficiência e NUT. Dessa forma, a taxa de transferência de calor será dada por:

ε = q q m á x → q = ε . q m á x

Vamos tratar de cada termo separadamente, beleza?

Passo 2

Vamos começar tratando da taxa de transferência de calor máxima possível q m á x , que é dada por:

q m á x = C m í n . T q , e n t - T f , e n t

Para calcular a menor taxa de capacidade térmica, temos que calcular as taxas de capacidade térmica dos dois fluidos.

C q = m ˙ q . c p , q = 2 . 4180 = 8360   W / ° C

C f = m ˙ f . c p , f = 3 . 1800 = 5400   W / ° C

Como o menor valor corresponde ao do fluido frio (água), teremos:

C m í n = C f = 5400   W / ° C

Dessa forma, a taxa de transferência de calor máxima possível será:

q m á x = C m í n . T q , e n t - T f , e n t = 5400 . 110 - 20

q m á x = 486.000   W

Passo 3

Para calcular a efetividade da transferência de calor, vamos precisar do NUT e da razão das capacidades, dados por:

N U T = U . A C m í n = 1200 . 7 5400 → N U T = 1,556

c = C m í n C m á x = 5400 8360 → c = 0,646

Como estamos trabalhando com um trocador de calor de escoamento paralelo, a relação mais adequada para a efetividade ε será:

ε = 1 - exp ⁡ - N U T . 1 + c 1 + c

Substituindo os valores:

ε = 1 - exp ⁡ - 1,556 . 1 + 0,646 1 + 0,646

Passo 4

A taxa de transferência de calor será:

q = ε . q m á x = 0,56 . 486

q = 272,2   k W

Assim, as temperaturas de saída dos fluidos serão:

T q , s a i = T q , e n t - q C q = 110 - 272,2 . 10 3 8360

T f , s a i = T f , e n t + q C f = 20 + 272,2 . 10 3 5400

Resposta

T q , s a i = 77,4 ° C

T f , s a i = 70,4 ° C

Exercício Resolvido #2

ÇENGEL, YUNUS A. Transferência de Calor de Massa, Uma Abordagem Prática. 3ed.

Um trocador de calor de escoamento cruzado ar-água com uma eficiência de 0,65 é utilizado para aquecer água c p = 4180   J / ( k g . ° C ) com ar quente c p = 1010   J / ( k g . ° C ) .

A água entra no trocador de calor a 20 ° C com uma taxa de 4   k g / s , enquanto o ar entra a 100 ° C com uma taxa de 9   k g / s .

Se o coeficiente global de transferência de calor baseado no lado da água é de 260   W / ( m 2 . ° C ) , determinar a superfície de transferência de calor do trocador de calor no lado da água.

Considere que ambos os fluidos são sem mistura.

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Passo 1

Vamos começar pensando em qual é a melhor maneira de encontrar a área superficial de transferência de calor.

Podemos pensar na equação da taxa de transferência de calor:

q = U . A . Δ T m l

Opa! Mas como não temos a temperatura de saída dos fluidos, então essa não é uma boa.

Uma outra equação que associa a área superficial é justamente a fórmula do NUT, dada por:

N U T = U . A C m í n → A = N U T . C m í n U

Essa parece ser boa! Mas vamos precisar encontrar o NUT e a menor taxa de capacidade térmica.

Vamos atrás deles então.

Passo 2

Começando pelas taxas de capacidade térmica, temos que:

C q = m ˙ q . c p , q = 4 × 4180 = 16.72 0   W / ° C

C f = m ˙ f . c p , f = 9 × 1010 = 9.090   W / ° C

Como o menor valor corresponde ao do fluido frio (água), teremos:

Passo 3

Temos algumas equações para calcular o NUT, mas vamos precisar da efetividade de transferência de calor ε = 0,65 e da razão das taxas de capacidade térmica, dada por:

c = C m í n C m á x = 909 0 1672 0 → c = 0 , 544

Estamos trabalhando com um trocador de calor de escoamento cruzado, onde ambos os fluidos são sem mistura. Nesse caso, não temos uma equação para o NUT na nossa tabela, então vamos utilizar o gráfico adequado.

Logo:

Passo 4

Finalmente, a área de troca térmica será:

A = N U T . C m í n U = 1,5 × 9090 260

Resposta

A = 52,4   m 2

Exercício Resolvido #3

ÇENGEL, YUNUS A. Transferência de Calor de Massa, Uma Abordagem Prática. 3ed.

(Adaptado) A água c p = 4180   J / ( k g . ° C ) entra nos tubos de 2,5   c m de diâmetro interno de um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente a 17 ° C com uma taxa de 3,0   k g / s . Ela é aquecida por condensação de vapor a 120 ° C no casco.

Se o coeficiente global de transferência de calor do trocador é de 700   W / ( m 2 . ° C ) , determinar o comprimento do tubo necessário, a fim de aquecer a água a 80 ° C utilizando o Método da Eficiência e NUT.

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Passo 1

Pelo Método da Eficiência e NUT, a área de troca térmica pode ser encontrada através da expressão do NUT:

N U T = U . A C m í n → A = N U T . C m í n U

Como estamos trabalhando com uma área cilíndrica, temos que:

A = π . D . L → L = A π . D

Substituindo a expressão que acabamos de encontrar para A :

L = N U T . C m í n U . π . D

Dessa equação, não temos o NUT e nem a menor taxa de capacidade térmica C m í n