Energia Específica e escoamento sobre elevação

Teoria Completa

Profundidade Crítica

Fala time!

Hoje vou te mostra um novo negócio, ele é um pouquinho abstrato no início, mas depois vai fazer mais sentido.

Vou tentar te dar uma ideia do ponto que a gente vai chegar no final. Já percebeu que em alguns rios a gente tem a formação de ondas?

Isso aí acontece principalmente pela geometria do fundo do rio, pela profundidade do escoamento e pela velocidade. Mas vamos com calma, um passo de cada vez

Então se lembra da equação da energia?

z 1 + V 1 ² 2 g + p 1 ρ g = z 2 + V 2 ² 2 g + p 2 ρ g + h p

Em canais abertos somente as componentes de velocidade V 1 ² 2 g e elevação z 1 que influenciam na energia do sistema. Isso acontece por que a pressão é a atmosférica em todos pontos.

Mas o importante é entender que o nome da equação é por que realmente representa a energia do sistema. Mais especificamente a energia específica:

E = y + V ² 2 g

Repare que mudei umas coisinhas. Ao invés da elevação vamos falar da profundidade y e da velocidade do escoamento V , e vamos supor que não temos atrito.

Em todo escoamento desse tipo, existe uma energia mínima E m i n que nos dará uma informação valiosa sobre o escoamento, a profundidade crítica.

Vamos analisar um caso simples de um canal retangular, vamos escrever a expressão da energia específica toda em funç��o de y .

Lembre-se que Q = V A , e no retângulo A = b y , logo,

Q = V b y   o u   Q b y = V

Substituindo na expressão:

E = y + Q ² 2 g b ² y ²

Vamos derivar E em y e igualar a zero:

d E d y = 0

1 - 2 Q 2 2 g b 2 y 3 = 0

Logo

1 = Q 2 g b 2 y 3

y = y c = Q 2 g b 2 1 / 3

Este valor de y é a profundidade crítica, que costumamos chamar de y c .

Isso vai ajudar a gente a dizer se o escoamento é crítico, subcrítico ou supercrítico. E isso tem tudo a ver com um fator adimensional chamado número de Froude.

Um escoamento estar em regime supercrítico significa que temos variações de elevação na superfície livre ou simplesmente ondas. E isso tem algumas implicações em como analisaremos o escoamento.

Antes vou explicar rapidinho o que é esse tal Froude.

Número de Froude

Lembra do número de Reynolds, que além de outras coisas dizia se um escoamento é laminar, de transição ou turbulento?

Existe outro adimensional, chamado número de Froude:

F r = V V o n d a = V g y

Ele vai nos dizer se o escoamento é subcrítico, crítico ou supercrítico, ou seja se a velocidade do escoamento é menor, igual ou maior a velocidade da onda que se propaga no fluido.

Escoamento sem atrito sobre uma elevação

Isso tudo que a gente viu serve pra gente analisar o seguinte problema:

Se temos um escoamento supercrítico o nível do fluido sobe quando passa por uma elevação.

E se está em regime subcrítico, o nível do fluido diminui.

As equações que regem esse problema são:

A equação da continuidade:

Q 1 = Q 2

V 1 y 1 b = V 2 y 2 b

V 1 y 1 = V 2 y 2

E a equação da energia:

E 1 = E 2 + ∆ h

y 1 + V 1 ² 2 g = y 2 + V 2 ² 2 g + ∆ h

Substituindo uma na outra e ajeitando as coisas:

y 2 ³ - V 1 2 2 g + y 1 - ∆ h y 2 2 + V 1 2 y 1 ² 2 g = 0

Vamos praticar um pouco porque hoje teve muita informação pra digerir.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Água a 20 ° C escoa em um canal retangular de 30 cm de largura a uma profundidade de 10   c m e uma vazão de 80000   c m 3 / s . Calcule ( a )   o número de Froude e ( b ) o número de Reynolds.

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Passo 1

A expressão do número de Froude é:

F r = V g y

Onde y é a profundidade, V a velocidade do escoamento e g a gravidade.

y é dado no enunciado:

y = 10   c m = 0,1   m

g = 9,81   m / s ²

Falta calcularmos V .

Passo 2

O enunciado nos fornece as dimensões do canal e a vazão. Lembrando que:

V = Q / A

Substituindo os valores conhecidos:

V = 80000   c m ³ / s 30   c m × 10   c m

V = 266,67 c m s = 2,67   m / s

Logo o número de Froude é:

F r = 2,67 9,81 × 0,1

F r = 2,696

Passo 3

O número de Reynolds relativo a profundidade R e y é igual a

R e y = ρ V y μ

Propriedades da água:

ρ = 1000 k g m 3

μ = 0,001 k g m . s

Logo

R e y = 1000 × 2,67 × 0,01 0,001

R e y = 26700

Resposta

F r = 2,696

R e y = 26700

Exercício Resolvido #2

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um canal circular em asfalto, com 75 cm de diâmetro, está escoando com meia carga a uma velocidade média de 3,4 m/s. Calcule (a) a vazão volumétrica, (b) o número de Froude e (c) a declividade crítica.

Dica: deduzir a expressão da energia específica para qualquer seção.

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Passo 1

Neste exercício temos uma seção diferente de uma retangular, logo não podemos usar a expressão da profundidade crítica que calculamos. Portanto para encontrarmos a profundidade crítica deveremos relacionar a expressão que deduziremos e a fórmula de Manning.

No caso a letra a é resolvida claculando a vazão Q = V A

V = 3,4 m s

A = π 0,375 2 2 = 0,22   m ²

Q = 3,4 × 0,22 = 0,75   m ³ / s

Passo 2

Neste exercício vamos deduzir a expressão da profundidade crítica em um caso geral e aplicar ao nosso problema. Ela será necessária para calcularmos as letras ( b ) e ( c ) .

Dada a equação da energia específica:

E = y + V ² 2 g

No nosso caso devemos escrever a velocidade como V = Q A . Logo,

E = y + Q ² 2 g A ²

Supondo Q constante e A = A ( y ) , vamos derivar ambos os lado em y d E d y = 1 - 2 Q ² 2 g 1 A ³ d A d y

d E d y = 1 - Q ² g 1 A ³ d A d y

Para encontrarmos a “área crítica”, d E d y = 0 ,

0 = 1 - Q ² g 1 A ³ d A d y

1 = Q ² g 1 A ³ d A d y

d A d y = g A ³ Q ²

Sendo d A = b 0 d y , em que b 0 é a largura do canal na superfície livre.

b 0 d y d y = g A ³ Q ²

A ³ = b 0 Q ² g

A área crítica é portanto:

A c = b 0 Q ² g 1 / 3

Lembrando que Q = V A

Podemos calcular a velocidade crítica V c

V c = g A c ³ b 0 1 / 2 A c = g A c b 0 1 / 2

O interessante da velocidade crítica é que podemos tirar as seguintes conclusões sobre a profundidade crítica:

V < V c ,     y > y c : e s c o a m e n t o   s u b c r í t i c o ,   F r < 1

V = V c ,     y = y c : e s c o a m e n t o   c r í t i c o ,   F r = 1

V > V c ,     y < y c : e s c o a m e n t o   s u p e r c r í t i c o ,   F r > 1