Introdução ao escoamento em canais abertos

Teoria Completa

Escoamento com superfície livre

Fala grande mestre!

Então aqui estamos de novo estudando escoamento em condutos. Mas agora tem uma diferença bem sútil mas com consequências muito fortes, comparado ao escoamento em condutos fechados:

Nossos escoamentos possuem superfície livre! Sim, todos querem liberdade, até as superfícies.

Os escoamentos mais comuns que existem na natureza são abertos, famosos rios:

Mas o ser humano que é malandro também resolveu usar isso pra resolver problemas da sua vida, é aí que calhas, rios retificados, etc que aparecem.

Beleza agora vamos começar a ver isso aí.

Boas notícias, lembra do diâmetro hidráulico D h ?

Tudo bem se não lembrar, eu te apresento de novo e a gente fala com o primo dele, o raio hidráulico R h :

D h = 4 A P m

O raio hidráulico que a gente vai usar não é nada menos que 1 / 4 do diâmetro:

R h = A P m

Esse A , é a área da seção transversal do canal e o P m o perímetro MOLHADO. Isso é muito importante, o perímetro agora não é o da figura inteira pois existe a superfície livre!

Já adianto que tem muita coisa de escoamentos internos nesse tópico, então nada de falar mal da equação da energia, ela pode ficar chateada.

A parte boa é que como a pressão na superficie livre é igual em todos pontos, podemos reduzir a equação para os seguintes termos:

V 1 ² 2 g + z 1 = V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Beleza, mas isso de ter superfície livre complica algumas coisinhas também. Podem surigir ondas, aquele efeito de corredeira, cachoeira...

Então vamos delimitar os casos dos escoamentos que vamos estudar: serão escoamentos uniformes: com profundidade y e declividade θ constantes. O desenho dos escoamentos fica tipo assim:

Fórmula de Chézy

Então até beleza?

Nos escoamentos que estudaremos a velocidade V 0 é constante, a profundidade y é constante e a declividade S 0 = tan ⁡ θ é constante.

Logo nossa equação da energia fica só isso:

z 1 - z 2 = h p

Vamos considerar que o escoamento é totalmente desenvolvido, logo como nos escoamentos internos a perda de carga continua naquela fórmula marota usando o diâmetro hidráulico:

h p = f L D h V ² 2 g

No caso o L vai depender de quanto do canal estamos estudando.Vale a pena pensar no L = x 2 - x 1 , ou seja, distância final menos a inicial.

Se combinarmos as duas expressões a gente chega a conclusão de que a velocidade V é igual :

V = 8 g f R h S 0

Essa é a fórmula de Chézy. Esse fator f é aquele famoso fator de atrito, só que agora com umas modificaçõezinhas:

f ≈ 2 log ⁡ 14,8 R h ϵ - 2

Essa fórmula é mais ou menos a do Diagrama de Moody adaptada pro caso de canais abertos que são quase todos turbulentos e bem largos.

Um cara chamado Robert Manning quis simplificar um pouco as coisas e criou a seguinte correlação:

8 g f = R h 1 / 6 n

Logo

V = R h 1 / 6 n R h S 0

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

Sendo que esse n é tabelado. Aqui vou dar uns exemplos pra gente:

Veja que as duas fórmulas são válidas, então fica a gosto do freguês.

Muita informação eu sei, mas vamos dar uma praticada que tudo ficará mais claro.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um canal retangular tem 2 m de largura e contém água com 3 m de profundidade. Se a declividade for de 0,85° e o revestimento for de metal corrugado, calcule o valor da descarga para escoamento uniforme.

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Passo 1

Vamos esquematizar a seção dessa canal para entendermos melhor o que está acontecendo:

Neste exercício, precisamos calcular a “desacarga” ou simplesmente a vazão do canal.

Vimos nessa teoria que a velocidade é

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

Vamos então calcular o raio hidráulico R h , a declividade S 0 e a componente de atrito n do metal corrugado e então lembrar daquela fórmula clássica:

Q = V A

Passo 2

Vamos começar pelo mais chatinho que é calcular o raio hidráulico:

R h = A P m

Que é a área da seção sobre o perímetro molhado:

A = 2 × 3 = 6   m ²

P m = 3 + 3 + 2 = 8   m

Logo R h :

R h = 6 8 = 0,75   m

Passo 3

O atrito que vamos utilizar na fórmula da velocidade é o do metal corrugado, olhando aquela tabelinha que forneci na teoria, o número de Manning é de:

n = 0,022

E sabemos também que S 0 = tan ⁡ 0,85 °

Aplicando na fórmula da velocidade:

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

V = 0,75 2 / 3 tan ⁡ 0,85 ° 1 / 2 0,022

V = 4,57   m / s

Multiplicando pela área temos a vazão Q

Q = V A

Q = 4,57 × 6

Q = 27,42   m ³ / s

Resposta

A descarga é de 27,42   m ³ / s .

Exercício Resolvido #2

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

O canal trapezoidal da figura é feito de alvenaria e tem declividade de 1:500. Determine a vazão se a profundidade normal for de 80 cm.

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Passo 1

Este exercício é bem parecido com o anterior, a grande diferença é a forma como a declividade foi escrita e claro a seção ser trapezoidal.

Vamos primeiro calcular a área da seção e o perímetro molhado, depois analisamos a questão da declividade.

Passo 2

Sabemos que a expressão do raio hidráulico é

R h = A P m

Calculando A :

Podemos dividir a figura em três áreas: dois triângulos retângulos e um retângulo.

A área do retângulo é simplesmente:

A □ = 2 × 0,80 = 1,6   m ²

Já a dos triângulos devemos encontrar o valor da “base”

Por trigonometria:

b a s e = 0,80 tan ⁡ 30 ° = 1,39   m

Logo a área de cada triângulo é:

A ∆ = 1,39 × 0,80 2 = 0,56   m ²

Logo a área total é

A = 2 A ∆ + A □

A = 2 × 0,56 + 1,6

A = 2,72   m ²

Para o perímetro molhado devemos calcular o valor da hipotenusa de cada triângulo:

Logo, por trigonometria:

h i p o t e n u s a = 0,80 sin ⁡ 30 ° = 1,6   m

Portanto o perímetro é

P m = 1,6 + 2 + 1,6 = 5,2   m

O raio hidráulico calculado então:

R h = A P m

R h = 2,72 5,2

R h = 0,52   m

Passo 3

Neste caso a declividade já está calculada e é exatamente 1 / 500 , logo substituindo na fórmula da velocidade, para n = 0,015

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

V = 0,52 2 / 3 1 500 1 / 2 0,015

V = 1,93   m / s

Passo 4

Pela fórmula da vazão:

Q = V A

Q = 1,93 × 2,72

Q = 5,25   m ³ / s

Resposta

Q = 5,25   m ³ / s

Exercício Resolvido #3

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Cinco tubos de esgoto, cada um com 2 m de diâmetro e feitos de argila, funcionam a meia seção, com uma declividade de 0,25°, descarregando em um único tubo feito de asfalto, também com declividade de 0,25°. Se o tubo maior também deve funcionar a meia seção, qual deverá ser seu diâmetro?

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Passo 1

Neste probleminha, as coisas continuam parecidas com os outros exercícios.

Calcularemos o raio hidráulico, velocidade... Mas como a vazão deve ser constante, poderemos calcular o diâmetro necessário do tubo maior.

Vamos com calma e uma hora a gente chega lá.

Vamos começar com o raio hidráulico

Passo 2

Para isso devemos montar a expressão do raio:

R h = A P m

Como o tubo está “meio-cheio” ou “meio-vazio” dependendo de quão otimista você é:

R h = π R 2 2 2 π R 2 = R 2

Logo

R h = D 2 2 = 2 2 2 = 0,5   m

Passo 3

A vazão de cada tubo é dada por:

Q = V A

Onde V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

Como são cinco tubos de esgoto:

Q = 5 V A = 5 R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n A