Escoamento sob comporta e ressalto hidráulico

Teoria Completa

Escoamento sob comporta

Continuando a falar sobre aquela papo de profundidade crítica e energia mínima: vamos analisar o caso de uma comporta como na imagem abaixo:

A expressão para o cálcula de y 2 é bem simples nesse caso, é como se não houvesse elevação no escoamento.

Em outra palavras tiramos ∆ h da equação do escoamento sobre elevação:

y 2 3 - V 1 2 2 g + y 1 y 2 2 + V 1 2 y 1 2 2 g = 0

Esse resultado era obtido quando igualávamos as energias. Ou seja, podemos dizer que se o escoamento a montante (de onde vem o escoamento) é subcrítico, o escoamento à jusante (para onde vai o escoamento) é supercrítico com a mesma energia.

Em outras palavras:

Agora, mais uma informação, ta vendo aquele H ? A abertura da comporta.

Podemos escrever a vazão à jusante em função dele:

Q = C d H b 2 g y 1

Sendo b a largura do canal, e:

C d = 0,61 1 + 0,61 H y 1

Um fenômeno diferente que podemos ter é o seguinte:

Essa é a representação de uma comporta afogada. Neste caso acontece uma dissipação de energia que chamaremos de ressalto hidráulico, e veremos melhor como funciona adiante.

Ressalto hidráulico

Então esse negócio acontece quando um fluido em estado supercrítico passa pra um estado subcrítico, e isso só pode ocorrer com dissipação de energia. Se liga nessa imagem aqui:

O fluido é rápido e raso a montante e lento e fundo a jusante. O ressalto é exatamente essa camada que você tem as bolhinhas de ar se misturando no fluido.

É nesse movimento confuso que ocorre a perda de energia h p , para um canal horizontal:

h p = y 2 - y 1 3 4 y 1 y 2

Onde:

y 2 y 1 = - 1 + 1 + 8 F r 1 2 2

Galera, recomendo fortemente dar uma checada em algum vídeo na internet mostrando um ressalto hidráulico, é meio esquisito mesmo.

Vamos praticar então!

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Exercício Resolvido #1

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Na Figura, seja y 1 = 95   c m e y 2 = 5 0   c m . Calcule a vazão por unidade de largura se a energia cinética a montante for (a) desprezada e (b) incluída.

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Passo 1

Então galera, neste problema o enunciado nos pede a vazão por unidade de largura, se lembra que a gente chamou isso de q quando falamos de profundidade crítica de canais retangulares?

Vou recapitular rapidinho:

q = Q b = V b y b = V y

Se substituirmos na nossa expressão da energia:

y 2 3 - V 1 2 2 g + y 1 y 2 2 + V 1 2 y 1 2 2 g = 0

y 2 3 - V 1 2 2 g + y 1 y 2 2 + q ² 2 g = 0

Passo 2

Na letra ( a ) ele nos pede para desconsiderarmos a energia cinética, que não é nada menos que esse pedaço da equação:

V 1 2 2 g

Se desconsideramos, nos deixa com a seguinte expressão:

y 2 3 - y 1 y 2 2 + q ² 2 g = 0

Logo,

q 2 2 g = y 1 y 2 2 - y 2 3

Substituímos y 1 = 95   c m e y 2 = 50   c m :

q 2 2 g = 0,95 0,50 2 - ( 0,50 ) ³

q 2 2 g = 0,1125

q = 2 × 9,81 × 0,1125

q = 1,49 m 3 s . m

Passo 3

Agora, para a lera ( b ) as coisas são um pouco diferentes, mas bem pouco.

Como não podemos desconsiderar a energia cinética, iremos calcular V 1 para depois calcular q :

y 2 3 - V 1 2 2 g + y 1 y 2 2 + V 1 2 y 1 2 2 g = 0

y 2 3 - V 1 2 2 g y 2 2 - y 1 y 2 2 + V 1 2 y 1 2 2 g = 0

V 1 2 y 1 2 2 g - V 1 2 2 g y 2 2 = y 1 y 2 2 - y 2 3

V 1 2 y 1 2 - y 2 2 2 g = y 1 y 2 2 - y 2 3

Finalmente,

V 1 2 = y 1 y 2 2 - y 2 3 y 1 2 - y 2 2 2 g

Substituindo os valores de y :

V 1 2 = - 0,95 0,50 2 - ( 0,50 ) ³ ( 0,95 ) 2 - ( 0,50 ) 2 2 ( 9,81 )

V 1 2 = 3,38

V 1 = 1,84   m / s

Logo, se q = V 1 y 1 :

q = V 1 y 1

q = 1,84 × 0,95

q = 1,75 m 3 s . m

Resposta

a q = 1,49 m 3 s . m

b   q = 1,75 m 3 s . m

Exercício Resolvido #2

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Na Figura P 10.69 , suponha que y 1 = 1,4   m e a comporta esteja levantada de maneira que a abertura seja de 15   c m . Calcule a vazão resultante por unidade de largura e a profundidade a montante.

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Passo 1

Neste caso como queremos a vazão dada pela abertura H da comporta, utilizaremos a expressão:

Q = C d H b 2 g y 1

O enunciado pede para calcularmos a vazão por unidade de largura q = Q / b , o que nos deixa com a expressão:

q = C d H 2 g y 1

Passo 2

Calcularemos primeiro C d :

C d = 0,61 1 + 0,61 H y 1

Se H = 0,15   m e y 1 = 1,4   m :

C d = 0,61 1 + 0,61 0,15 1,4

C d = 0,591

Como conhecemos todos os outros valores da expressão de q , substituiremos todos para calculá-lo:

q = 0,591 × 0,15 2 × 9,81 × 1,4

q = 0,465 m 3 s . m

Passo 3

Para calcularmos a profundidade a montante, utilizaremos a expressão:

y 2 3 - V 1 2 2 g + y 1 y 2 2 + V 1 2 y 1 2 2 g = 0

Infelizmente teremos uma equação de terceiro grau, então a solução fica um pouco mais complicada. Existe um fórmula um pouco grande demais pra ser decorada, tipo um Bhaskara, só que de equações de terceiro grau.

Para simplificar as coisas vou usar uma aproximação usando um método numérico bobinho que da pra usar na calculadora, caso você esteja fazendo os exercícios com uma.

Substituindo y 1 e V 1 = q y 1 = 0,33   m / s :

y 2 3 - ( 0,33 ) 2 2 × 9,81 + 1,4 y 2 2 + ( 0,465 ) ² 2 × 9,81 = 0

y 2 3 - 1,4 y 2 2 + 0,011 = 0

Se você tem uma calculadora vá colocando valores para y 2 na expressão, até que ela convirja para um número próximo de zero, não precisa de muito exato.

É muito improvável que um professor te peça para resolver esse cálculo em alguma prova sem alguma simplificação ou fórmula.

De qualquer maneira a solução converge em y 2 = 0,9   m

Resposta

q = 0,465 m 3 s . m

y 2 = 0,9   m

Exercício Resolvido #3

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Água escoa em um canal largo a q = 2,32   m 3 / ( s . m ) , y 1 = 0,3   m , e então passa por um ressalto hidráulico. Calcule y 2 ,   V 2 ,   F r 2 ,   h p , o percentual de dissipação e a potência dissipada por unidade de largura. Qual a profundidade crítica?

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Passo 1

Então esse exercício é mais intimidador que difícil. Nesse caso é mais organização e entendimento do que a gente viu até agora em canais abertos.

Vamos com calma então.

Calcularemos V 1 e a partir dele calcularemos o que o exercício pede.

O bom desse exercício é que ele é meio que um compilado de conceitos.

Passo 2

Utilizaremos a expressão q = V 1 y 1

V 1 = q y 1

V 1 = 2,32 0,3 = 7,73 m s

Utilizaremos isso para calcularmos o número de Froude:

F r 1 = V 1 g y 1