Enunciado

Em 1908, um estudante de Prandtl, Heinrich Blasius, propôs a seguinte fórmula para a tensão de cisalhamento na parede τ p em uma posição x no escoamento viscoso à velocidade V sobre uma superfície plana:

( τ p = 0,332   ρ 1 / 2   μ 1 / 2 V 3 / 2 x - 1 / 2 )

Determine as dimensões da constante 0,332 .

Passo 1

Bom, o lado esquerdo da equação tem unidades de pressão, para que a equação seja homogênea, o lado direito também precisa ter a mesma dimensão, então podemos usar isso para encontrar a dimensão da constante que o enunciado pede

Passo 2

Primeiro pegamos a dimensão de cada termo separado:

τ p = M / L T 2

  ρ 1 / 2 = ρ 1 / 2 = M / L 3 1 / 2

  μ 1 / 2 = μ 1 / 2 = F T L 2 1 / 2

  V 3 / 2 = V 3 / 2 = L / T 3 / 2

  x - 1 / 2 = x - 1 / 2 = L - 1 / 2

Onde F representa dimensão de força.

Passo 3

E agora juntamos eles na equação dada pelo enunciado:

τ p = 0,332   ρ 1 / 2   μ 1 / 2 V 3 / 2 x - 1 / 2

M / L T 2 = 0,332   M L 3 1 / 2 F T L 2 1 / 2 L T 3 / 2 L - 1 / 2

Podemos reescrever para facilitar, colocando tudo dentro de uma chave só:

M / L T 2 = 0,332 M L 3 F T L 2 L 3 T 3   L - 1   1 / 2

Para terminar de ajustar, podemos abrir a dimensão de força:

F = M L / T 2

Que fica:

M / L T 2 = 0,332 M L 3 M L T 2 T L 2 L 3 T 3   L - 1   1 / 2

Agora simplificamos tudo que podemos:

M / L T 2 = 0,332 M 2 L 2 T 4     1 / 2

Dá para tirar os termos da raiz também:

M / L T 2 = 0,332 M / L T 2

E como dá para ver a equação já está homogênea sem nem precisarmos ajustar ela através das dimensões da constante. Isso significa que a constante é adimensional

Resposta

A d i m e n s i o n a l

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