Enunciado

Mott [49] recomenda a seguinte fórmula, no sistema inglês, para a perda de carga por atrito h P , em f t , para um escoamento através de um tubo de comprimento L e diâmetro D (ambas as medidas devem estar em f t ):

h P = L Q 0,551 A C h D 0,63 1,852

na qual Q é a vazão em volume do escoamento em f t 3 / s , A é a área da seção transversal do tubo em f t 2 e C h é um coeficiente adimensional cujo valor é aproximadamente 100 . Determine as dimensões da constante 0,551 .

Passo 1

Vamos primeiro dar uma olhada na equação, repare que o enunciado diz que h P deve estar em f t e L que está do lado de fora dos parênteses já está em f t também. Então a gente pode dizer que os dois lados já estão homogêneos sem tudo que está nos parênteses, isso significa que aquela razão precisa ser adimensional.

Passo 2

Por isso, precisamos nos preocupar só com ela agora, porque se já sabemos que ela é adimensional, já dá pra descobrir a dimensão da constante que o enunciado pede:

Q 0,551 A C h D 0,63

Começamos pegando a dimensão de cada termo:

Q = L 3 / T

D = L

A = L 2 = L 2

O D é o diamentro, então tem dimensão de comprimento, a vazão   Q   é volume por segundo e o A é a área da seção transversal, então precisa ter dimensão de comprimento ao quadrado.

Agora desprezamos C h porque ele não tem dimensão e não entra nessa razão.

Passo 3

Por último resolvemos a razão usando a dimensionalidade de cada termo:

Q 0,551 A C h D 0,63 = L 3 / T 0,551 L 2 L 0,63

Como dá para ver para que o L 3 / T corte com a parte debaixo, precisamos que haja L 3 no denominador e T precisa ir para o numerador, então a dimensão da constante só pode ser:

0,551 = L 0,37 T

Substituindo fica melhor de ver:

Q 0,551 A C h D 0,63 = L 3 / T L 0,37 T L 2 L 0,63 = L 3 / T L 2 L T

Simplificando tudo não sobra dimensão nenhuma, que era o que a gente queria

Passo 4

Se tirarmos a dimensão da fórmula do enunciado:

h P = L Q 0,551 A C h D 0,63 1,852

Podemos cortar toda a parte dos parênteses, sobrando só:

h P = L

E como tanto L quanto h P estão em f t a equação é homogênea então a dimensão que demos para a constante 0,551 está coerente.

Resposta

0,551 = L 0,37 T

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