Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 7.Problemas - Ex. 11

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desse livro

Ar a 20°C e 1 atm escoa a 2 m/s sobre uma placa plana aguda. Admitindo que seja precisa a análise com perfil parabólico, Equações (7.6-7.10), calcule (a) a velocidade local u e (b) a tensão cisalhante local t na posição (x, y) = (50 cm, 5 mm).

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, queremos calcular a velocidade local u e tensão cisalhante local τ na posição ( x ,   y )   =   ( 50   c m ,   5   m m ) de ar escoando a 20   ° C a uma velocidade U = 2   m / s .

Pra isso, vamos utilizar a Equação (7.6), dada na página 466, que descreve o perfil de velocidades como sendo uma função parabólica:

u x , y = U 2 y δ - y ² δ ²

Sendo δ a espessura da camada limite.

Mas antes de ir pros próximos passos, a gente tem que lembrar que a 20 ° C o ar tem massa específica ρ = 1,2   k g / m ³ e viscosidade μ =   1,8 × 10 - 5   P a ∙ s .

Agora vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamo resolver a letra (a).

A gente tem que começar encontrando o número de Reynolds do escoamento na posição x = 0,5   m :

R e x = ρ U x μ = 1,2 k g m 3 2 m s ( 0,5   m )   1,8 × 10 - 5   P a ∙ s = 6,67 × 10 4

Como podemos ver, esse escoamento é laminar, logo, a espessura da camada-limite pode ser calculada a partir da Equação (7.1a), dada na página 462 do livro

δ x = 5 R e x 1 / 2 →   δ 0,5   m = 5 6,67 × 10 4 1 / 2 = 0,0097   m

Com a espessura da camada-limite, finalmente podemos calcular o valor de u para uma altura y = 0,005   m :

u 50   c m , 5   m m = 2   m / s 2 0,005   m 0,0097   m - 0,005   m ² 0,0097   m ²

u 50   c m , 5   m m = 1,53   m / s

Passo 3

Agora, pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

A tensão de cisalhamento pode ser dada pela equação:

τ = μ ∂ u ∂ y

Então basta que a gente derive o perfil de velocidades com relação a y , da seguinte forma:

τ = μ ∂ ∂ y U 2 y δ - y ² δ ² = μ U 2 δ - 2 y δ ²

Basta então eu a gente substitua y = 0,005   m e δ = 0,0097   m :

τ = 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s 2   m / s 2 0,0097   m - 2 0,005   m 0,0097   m ²

τ = 0,0036   P a

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A velocidade local é u 50   c m , 5   m m = 1,53   m / s

(b) A tensão cisalhante local é τ 50   c m , 5   m m = 0,0036   P a

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