Enunciado

26 – Considere o Exemplo 14.4. Encontre o tempo requerido para que a pressão no recipiente caia em 1 % e em 10 %, levando em conta que conforme a pressão interna cai, a taxa de vazamento também cai. Compare seu resultado com o tempo estimado usando uma taxa inicial da queda de pressão encontrada no Exemplo 14.4.

Passo 1

Vamos ao exemplo 14.4.

Pelo exemplo 14.4 temos que a expressão da taxa de variação da pressão com o tempo é dada por:

d P A d t = - 6 R T S D A B L D P A         E q 1

Onde, os dados pelo são:

R = 0,08314   m 3 b a r   k m o l - 1 K - 1

T = 293 K

S = 0,45 x 10 - 3 k m o l m 3 b a r ;   D A B = 0,4 x 10 - 13   m 2 / s  

P A 0 = 4   b a r

L = 0,002   m ; D = 0,2   m

Passo 2

Pela Eq1, podemos determinar uma expressão explicita para o tempo, resolvendo a equação diferencial dada pela Eq1.

Lembrando dos métodos de resolução de equações diferenciais, temos que o método mais simples é o método de separação de variáveis. Resolvendo por separação de variáveis:

d P A d t = - 6 R T S D A B L D P A

Fazendo

c = - 6 R T S D A B L D

d P A d t = c P A

Separando variáveis

1 P A d P A = c   d t

Integrando em ambos os lados, com os intervalos de integração definidos logo em seguida:

∫ 1 P A d P A = c ∫ d t

Os intervalos são:

P A 0 ≤ P A ≤ P A f ; 0 ≤ t ≤ t

Aplicando os intervalos:

∫ P A 0 P A f 1 P A d P A = c ∫ 0 t d t

Passo 3

Resolvendo a integral vamos chegar que:

ln ⁡ P A f P A 0 = c t

ln ⁡ P A f P A 0 = - 6 R T S D A B L D t

Isolando t:

t = - L D 6 R T S D A B ln ⁡ P A f P A 0

Passo 4

Calculando os tempos requeridos:

Para Paf = 1% menor que PA0

P A f = 0,99 P A 0

Assim, aplicando os valores:

t = - ( 0,002 m ) ( 0,2 m ) 6 0,08314   m 3 b a r   k m o l - 1 K - 1 293 K 0,45 x 10 - 3 k m o l m 3 b a r 0,4 x 10 - 13 m 2 s ln ⁡ 0,99

t = 1,53 x 10 9   s = 424460   h = 17686   d i a s

Para Paf = 10% menor que PA0

P A f = 0,9 0 P A 0

Assim, aplicando os valores:

t = - ( 0,002 m ) ( 0,2 m ) 6 0,08314   m 3 b a r   k m o l - 1 K - 1 293 K 0,45 x 10 - 3 k m o l m 3 b a r 0,4 x 10 - 13 m 2 s ln ⁡ 0,9 0

t = 1,6 x 10 10   s = 4,45 x 10 6 h = 185405   d i a s

Passo 5

Vamos agora para finalizar, comparar os valores do tempo com a taxa inicial encontrada no exemplo 14.4.

No exemplo 14.4 foi encontrado uma taxa inicial de:

d P A d t = - 2,63 x 10 - 11 b a r   s - 1

O tempo requerido será definido por:

t = ( P A f - P A 0 ) d P A d t - 1

Para Paf = 1% menor que PA0

P A f = 0,99 P A 0

t = 0,99 P A 0 - P A 0 d P A d t - 1 = - 0,01 P A 0 d P A d t - 1

t = - 0,01 4   b a r - 2,63 x 10 - 11 b a r   s - 1 - 1

t = 1,52 x 10 9 s

Para Paf = 10% menor que PA0

P A f = 0,90 P A 0

t = 0,9 0 P A 0 - P A 0 d P A d t - 1 = - 0 , 1 0 P A 0 d P A d t - 1

t = - 0 , 1 0 4   b a r - 2,63 x 10 - 11 b a r   s - 1 - 1

t = 1,52 x 10 10 s

Você pode perceber que o resultado para uma redução de 1% da pressão foi um valor muito próximo nos dois casos. Já para o tempo com redução de 10% da pressão houve uma certa divergência dos valores, isso porque a variação de pressão não é constante ao longo do tempo, ela varia com a pressão e por isso resultou em um valor diferente.

Resposta

Para redução de 1%:

t = 1,53 x 10 9   s = 424460   h = 17686   d i a s

Para redução de 10%:

t = 1,6 x 10 10   s = 4,45 x 10 6   h = 185405   d i a s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Estime valores da difusividade mássica D A B em misturas binárias dos seguintes gases a 350K e 1a t m : amônia–ar e hidrogênio–ar.
Um cilindro oco de ferro, com 100m m de comprimento, está exposto a um gás de carburização (uma mistura de C O e C O 2 ) a 1000 ° C nas suas superfícies interna e externa com raios 4,30 e 5,70m m , re
Um medicamento encontra-se no interior de um velho frasco farmacêutico de vidro. A boca está fechada com uma rolha de borracha que tem 20m m de altura, com 10m m de diâmetro na extremidade inferior, a
Uma gota esférica do líquido A, com raio r o , evapora para uma camada estagnada de um gás B. Deduza uma expressão para a taxa de evaporação da espécie A em termos da pressão de saturação de A, p A (
Uma fina membrana plástica é usada para separar hélio de uma corrente gasosa. Sob condições de regime estacionário, a concentração do hélio na membrana é conhecida como sendo 0,02 e 0,005k m o l / m 3