Enunciado

53 – Uma chapa de aço emergindo de uma seção de laminação a quente tem uma temperatura de 1000 K, uma espessura de δ = 2,5 mm, e a seguinte distribuição de emissividade hemisférica espectral:

A densidade e o calor especifico do aço são 7900 kg/m3 e 640 J/kg.K, respectivamente. Qual é a emissividade total? Contando para a emissão de ambos os lados da chapa de aço e negligenciando a condução, convecção e a radiação do meio externo, determine a taxa temporal inicial da mudança de temperatura da chapa (dT/dt)i. Como o aço esfria, ele oxida e a emissividade total aumenta. Se este aumento pode ser correlacionado por uma expressão da forma

ε = ε 1000 [ 1000   K / T ( K ) ]

Quanto tempo vai demorar para o aço resfriar de 1000 K para 500 K?

Passo 1

Vamos começar este exercício determinando a emissividade total.

Para a emissividade total, você pode ver que temos uma emissividade que varia com o comprimento de onda, ou seja, possui uma emissividade para cada largura de banda.

Para calcularmos a emissividade total, então, podemos usar a eq. 12.34 do Incropera, que para esse caso podemos escrever a expressão para emissividade total da seguinte maneira:

ε T = ε 1 F 0 → 1   μ m + ε 2 F 0 → 6   μ m - F 0 → 1   μ m + ε 3 [ 1 - F 0 → 6   μ m ]

Onde,

ε 1 = 0,6                           0 ≤ λ 1 ≤ 1   μ m  

ε 2 = 0,4                         1 ≤ λ 2 ≤ 6   μ m

  ε 3 = 0,25                           λ 3 > 6   μ m

Os valores de F são encontrados na Tabela 12.2 do Incropera.

Passo 2

Encontrando os valores de F:

A T = 1000 K:

λ 1 T = 1   μ m 1000 K = 1000   μ m   K

F 0 → 1   μ m = 0,000321

λ 2 T = 6   μ m 1000 K = 6000   μ m   K

F 0 → 6   μ m = 0,737818

Calculando a emissividade total, aplicando os valores:

ε T = ε 1000 K = 0,6 ( 0,000321 ) + 0,4 0,737818 - 0,000321 + 0,25 [ 1 - 0,737818 ]

ε T = ε 1000 K = 0,36074

Passo 3

Para determinarmos a taxa temporal da mudança de temperatura da chapa, vamos ter que aplicar um balanço de energia na chapa, considerando um processo em regime transiente e desprezando as variações de energia cinética e potencial, além de desprezar as contribuições das energias térmicas já mencionadas no enunciado. Além disso, não teremos também trabalho envolvido neste processo, assim o balanço de energia vai ficar como a energia acumulada na chapa é igual ao calor transferido, que neste caso será o calor transferido por radiação devido a emissividade da chapa.

Assim,

- E s a i = d E d t

Onde, o sinal negativo representa que a chapa está perdendo energia, isto é, ela está resfriando, como é o caso deste processo.

Passo 4

A energia que sai da chapa, Esai, será a potência de emissividade, contabilizada nos dois lados das superfícies da chapa, assim

E s a i = 2 E

A potência total emitida, E, pode ser determinada pela eq. 13.37 do Incropera:

E T = ε T E b T

Onde, Eb é a potência emitida de um corpo negro que é dado pela seguinte expressão:

E b T = σ T 4

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

Assim,

E T = ε T σ T 4

Logo,

E s a i = 2 ε σ T 4

Passo 5

A taxa de variação de energia, dE/dt, pode ser expressão como:

d E d t = ρ δ c d T d t

Onde, ρ é a densidade, c é o calor especifico e δ é a espessura.

Assim, o balanço de energia agora é:

ρ δ c d T d t = - 2 ε σ T 4

Isolando dT/dt:

d T d t = - 2 ε σ T 4 ρ δ c

Passo 6

A taxa inicial então se aplica quando a temperatura é a temperatura inicial que é T = 1000 K, assim, aplicando os valores:

d T d t i = - 2 0,36074 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 1000 K 4 7900 k g m 3 0,0025 m 640 J k g K

d T d t i = - 3,24   K   s - 1

Passo 7

Agora vamos responder a última pergunta. Para determinarmos o tempo requerido para a temperatura da chapa reduzir-se para uma temperatura de 500 K, podemos usar o balanço de energia que já definimos:

d T d t = - 2 ε σ T 4 ρ δ c

Mas agora com a emissividade variando com a temperatura:

ε = ε 1000 [ 1000   K / T ( K ) ]

Onde,

ε 1000 = ε 1000 K = 0,36074

Assim,

d T d t = - 2 ε 1000 1000 T σ T 4 ρ δ c

d T d t = - 2000 ε 1000 σ T 3 ρ δ c

Passo 8

A equação anterior é uma equação diferencial ordinária (EDO) e lembrando de métodos de resolução de EDO’s, um método muito usado é o método da separação de variáveis. Usando o método da separação de variáveis:

1 T 3   d T = - 2000 ε 1000 σ ρ δ c   d t

Integrando em ambos os lados

∫ 1 T 3 d T = ∫ - 2000 ε 1000 σ ρ δ c d t

Definindo os intervalos de integração, para o qual, para a temperatura varia de 1000 K até 500 K, e o tempo de 0 até t, assim

∫ 1000 500 1 T 3 d T = - 2000 ε 1000 σ ρ δ c ∫ 0 t d t

Resolvendo as integrais, vamos ter que

- 1 2 T 2 500 1000 = - 2000 ε 1000 σ ρ δ c t

- 1 2 1 500 2 - 1 1000 2 = - 2000 ε 1000 σ ρ δ c t

1 500 2 - 1 1000 2 = 4 000 ε 1000 σ ρ δ c t

Passo 9

Isolando t:

t = ρ δ c 4000 ε 1000 σ 1 500 2 - 1 1000 2

Aplicando os valores

t = 7900 k g m 3 0,0025 m 640 J k g K 4000 0,36074 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 1 500 2 - 1 1000 2 K - 3

t = 464   s

Resposta

ε 1000 K = 0,36074

d T d t i = - 3,24   K   s - 1

t = 464   s

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