Enunciado

95 – Considere o coletor solar do Problema 3.89. Depois de alcançar uma operação em condição de estado estacionário com q”rad=800 W/m2, o fluxo de radiação liquido para a superfície é rapidamente reduzido a q”rad=0 devido a passagem de uma nuvem.

(A) Com q”rad=800 W/m2, determine a distribuição de temperatura em estado estacionário dentro do prato absorvedor e a taxa de energia térmica por unidade de comprimento, q’, fornecida para um único tubo, usando um modelo de diferenças finitas com Δx=10 mm. Tire vantagem da simetria em x=0 (localizada diretamente acima do tubo representado) e L/2 para minimizar o número de equações de diferenças finitas. Qual é a máxima temperatura em estado estacionário do prato absorvedor? Avalie as propriedades do prato em T = 325 K.

(B) Usando a distribuição de temperatura da parte (A) como uma condição inicial, determine a distribuição de temperatura dentro do prato absorvedor T(x, t) quando q”rad=0 para um período de tempo 0≤t≤500 s. Use um espaçamento de Δx=10 mm e um intervalo de tempo de Δt= 1 s. Plote a máxima temperatura do prato absorvedor para um período de tempo de 0≤t≤500 s. Qual é a máxima temperatura do prato absorvedor em t=0, 10 e 100 s?

Dica: A solução será acelerada usando a função Der(T, t) de IHT. Veja o Problema 5.94.

(C) Plote a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo para um período de tempo de 0≤t≤500 s. Quanto tempo pode durar a cobertura de nuvens antes da taxa de transferência de calor do tubo para o prato absorvedor ser reduzida em 50%?

Passo 1

A)

Vamos começar determinando a expressão para a temperatura que representará a distribuição de temperatura em estado estacionário do prato absorvedor.

Vamos fazer um balanço de energia. O balanço de energia global é:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s i s t e m a             E q 1

Onde,

- E ˙ e n t r a e E ˙ s a i , são, respectivamente, a taxa de transferência de energia que entra no sistema e a que sai do sistema;

- E ˙ g , é a taxa de geração de energia dentro do sistema;

- E ˙ s i s t e m a , é taxa de energia acumulada no sistema, que varia com o tempo em um processo transiente.

Para condição de estado estacionário:

E ˙ s i s t e m a = ρ c p ∂ T ∂ t = 0

Desprezando a geração de energia:

E ˙ g = 0

Assim, a Eq. 1 fica:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = 0

Passo 2

Pelo problema 3.89, temos que:

E ˙ e n t r a = q r a d

E ˙ s a i = q c o n d

Assim,

q r a d - q c o n d = 0

Em termos de fluxo:

q " r a d - q " c o n d = 0

Lembrando que

q " c o n d = k d T d x

Assim,

q " r a d - k d T d x = 0

k d T d x = q " r a d

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial acima, vamos ter que:

d T d x = q " r a d k

Por separação de variáveis:

d T = q " r a d k d x

Integrando:

T - T 0 = q " r a d k x

Assim,

T x = T 0 + q " r a d k x

Onde, k é a condutividade térmica do cobre a T = 325K:

k = 315 W m K

Assim,

T x = 325   K + 800 W m 2 315 W m K x

T x = 325 K + 2,54 K m x

Passo 4

Para determinarmos a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento de um único tubo podemos usar a seguinte equação, que relaciona a taxa de transferência de calor com a radiação transferida e a taxa por condução, cuja equação é:

q ' = q " r a d e + k e d T d x

Onde, por diferenças finitas:

d T d x = ∆ T ∆ x

Assim,

q ' = q " r a d e + k e ∆ T ∆ x

Para Δx = 10mm

q ' = 800 W m 2 ( 0,006 m ) + 315 W m K ( 0,006 m ) ( 333 - 325 ) K 0,010 m

q ' = 1516,8 W m K

Passo 5

B)

Para resolvermos esta vamos usar a Eq. do calor aplicada para quando a condução é unidimensional na direção de x, as propriedades são constantes, sem geração de energia e regime transiente, assim:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

Aplicando um método de diferenças finitas explicito:

∂ 2 T ∂ x 2 = T m + 1 p + T m - 1 p - 2 T m p ∆ x 2

∂ T ∂ t = T m p + 1 - T m p ∆ t

Assim,

k T m + 1 p + T m - 1 p - 2 T m p ∆ x 2 = ρ c p T m p + 1 - T m p ∆ t

Esta eq. pode ser escrita também em termos do nº de Fourier, assim como pela eq. 5.79 do Incropera,

T m p + 1 = F O T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F O T m p

Onde, p representa o passo de tempo

t = p ∆ t

O nº de Fourier é dado por:

F O = α ∆ t ∆ x 2

F O = 120 x 10 - 6 m 2 s ( 1   s ) 0,01 m 2 = 1,2

Assim,

T m p + 1 = 1,2 T m + 1 p + T m - 1 p - 1 , 4 T m p           E q 2

Passo 6

Considerando o prato absorvedor com 100 mm de comprimento, assim precisaremos de 10 nodos, indo de 0 até 9, para Δx = 10 mm, onde para T0

T 0 = 325   K

Para o instante de tempo inicial, para p = 0, vamos usar a relação da distribuição de temperatura em estado estacionário

T m 0 = T x ,   t = 0 = 325 + 2,54 x

Onde,

x = m ∆ x

As equações para os nodos externos são:

Para m = 0:

T 0 p + 1 = 1,2 T 1 p + 325 - 1 , 4 T 0 p

Para m = 9:

T m p + 1 = 1,2 T m - 1 p - 0,2 T m p

E para os nodos interiores, é dado pela Eq. 2:

T m p + 1 = 1,2 T m + 1 p + T m - 1 p - 1 , 4 T m p

Passo 7

C)

A taxa de transferência de calor por unidade de comprimento vai ser para este caso:

q ' = k e ∆ T ∆ x

Onde,

∆ T ∆ x = T m p + 1 - T m p ∆ x

Assim,

q ' m = k e T m p + 1 - T m p ∆ x

Assim, com os valores da temperatura para cada instante de tempo p, onde t = pΔt, calcula-se os valores da transferência de calor com a equação anterior.

Resposta

A)

T x = 325 + 2,54 x

q ' = 1516,8 W m K

B) Para m = 0:

T 0 p + 1 = 1,2 T 1 p + 325 - 1,4 T 0 p

Para m = 9:

T m p + 1 = 1,2 T m - 1 p - 0,2 T m p

Para os nodos interiores:

T m p + 1 = 1,2 T m + 1 p + T m - 1 p - 1 , 4 T m p

C)

q ' m = k e T m p + 1 - T m p ∆ x

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