Enunciado

54 - Uma superfície opaca e difusa, a 700   K , tem emissividades espectrais ε λ = 0   para 0   ≤   λ   ≤   3   μ m ; ε λ = 0,5 para 3 < λ ≤ 10   μ m ; e ε λ = 0,9 para 10 < λ < ∞ . Um fluxo radiante de 1000   W / m 2 , uniformemente distribuído entre 1 e 6   μ m , incide sobre a superfície com um ângulo de 30 ° em relação à sua normal.

Calcule a potência radiante total que sai de uma área da superfície com 10 – 4   m 2 e atinge um detector de radiação que está posicionado ao longo da direção normal à essa área. A abertura do detector tem 10 – 5   m 2 e a sua distância da superfície é de 1   m .

Passo 1

Com uma temperatura de 700   K e λ = 3   μ m , temos:

λ T = 3 × 700   μ m ⋅ K

λ T = 2100   μ m ⋅ K

Antes de continuarmos, precisaremos obter a fração da emissão total que é tabelada. Vamos consultar a Tabela 12.2, 'Funções de radiação do corpo negro'.

λ T = 21 00   μ m ⋅ K

F 0 → 3 = 0 , 083808

Aqui, F 0 → 3   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 3   μ m .

Com uma temperatura de 700   K e λ = 10   μ m , temos:

λ T = 10 × 700   μ m ⋅ K

λ T = 7000   μ m ⋅ K

F 0 → 10 = 0,083808

Aqui, F 0 → 10   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 10   μ m .

Passo 2

Podemos encontrar a emissividade total por meio da seguinte fórmula:

ε = ε 1 F 0 → 3 + ε 2 F 3 → 10 + ε 3 F 10 → ∞

Que pode ser reescrita como:

ε = ε 1 F 0 → 3 + ε 2 F 0 → 10 - F 0 → 3 + ε 3 ( F 0 → ∞ - F 0 → 10 )

Como temos todos os valores, podemos encontrar a emissividade:

ε = 0 0,083808 + 0,5 0,083808 - 0,083808 + 0,9 1 - 0 , 808109

ε = 0,535  

Portanto, a emissividade total é 0,535 .

Passo 3

Conforme a condição fornecida, o fluxo radiante é uniformemente distribuído entre  1   μ m 6   μ m .

Antes de continuarmos, precisaremos obter a fração da emissão total que é tabelada. Vamos consultar a Tabela 12.2, 'Funções de radiação do corpo negro'.

Para λ = 6     μ m e T = 7 00   K :

λ T = 6 × 7 00   μ m ⋅ K

λ T = 420 0   μ m ⋅ K

F 0 → 6 = 0 , 516014

Aqui, F 0 → 6   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 6   μ m .

E para λ = 1   μ m e T = 7 00   K :

λ T = 1 × 7 00   μ m ⋅ K

λ T = 7 00   μ m ⋅ K

F 0 → 1 = 0,0 00008

Aqui, F 0 → 1   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 1   μ m .

Passo 4

Vamos agora, calcular comigo a refletividade da superfície por meio da seguinte equação:

ρ = ρ 1 F 1 → 3 + ρ 2 F 3 → 6

= 1 - ε 1 F 1 → 3 + 1 - ε 2 F 3 → 6

= 1 - ε 1 F 0 → 3 - F 0 → 1 + 1 - ε 2 F 0 → 6 - F 0 → 3

Como temos todos os valores, basta apenas substituirmos e teremos a refletividade.

= 1 - 0 0,083808 - 0,000008 + 1 - 0,5 0,516014 - 0,083808

= 0,30

Passo 5

Agora precisamos encontrar a irradiação total na superfície e para isso, iremos usar a seguinte relação:

G = q ' cos ⁡ θ

Aqui  q é o fluxo de calor uniforme e o  θ é o ângulo de incidência.

Vamos substituir pelos valores que conhecemos. Logo:

G = 1000 × cos ⁡ 30 °

= 1000 × 0,866

= 866   W / m 2

Passo 6

Precisamos nessa parte, encontrar a intensidade espectral da radiação para emissão e reflexão do alvo da seguinte maneira:

I = E π + ρ G π

= ε σ T 4 + ρ G π

Aqui,  E é o poder emissivo da abertura do forno, ρ é a refletividade da superfície,  G é a irradiação total da superfície,  σ é a constante Boltzmann de Stefan e  T é a temperatura da superfície opaca.

Portanto, vamos comigo fazer as substituições e obter a intensidade espectral.

I = 0,535 5,67 × 10 - 8 700 4 + 0,3 ( 866 ) π

= 7282,233 + 259,8 π

= 2400   W / m 2 ⋅ s r

Passo 7

Venha comigo para encontrar o ângulo sólido subtendido pela superfície  A d em relação a  A s .

∆ ω d - s = A d cos ⁡ θ d L 2

Aqui, o  θ d é o ângulo do zênite que é subtendido pelo detector radiante,  A s é a área da superfície,  A d é a área do detector e  L é a distância de separação entre as superfícies.

Logo:

∆ ω d - s = 10 - 5 × cos ⁡ 0 ° 1 2

= 10 - 5   s r

Passo 8

Finalmente podemos calcular a potência radiante total que sai de uma área da superfície com 10 – 4   m 2 e atinge um detector de radiação que está posicionado ao longo da direção normal à essa área, por meio da seguinte equação:

q d = I A s cos ⁡ θ d ∆ ω d - s

Como temos todos as variáveis, basta fazermos as devidas substituições para encontrara potência desejada. Logo:

= 2400 × 10 - 4 × ( cos ⁡ 0 ° ) × 10 - 5

= 0,24 × 1 × 10 - 5

= 2,4 × 10 - 6   W

Portanto, a potência radiante total é 2,4 × 10 - 6   W .

Resposta

q d = 2,4 × 10 - 6   W

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