Enunciado

Uma pequena superfície de área A 1 = 5 cm2 emite radiação como um corpo negro a T 1 = 1000 K. Um sensor de radiação de área A 2 = 3 cm2 é colocado na direção normal da visualização da superfície A 1 na distância L . Um filtro óptico com a seguinte transmissividade espectral é colocado na frente do sensor:

τ λ = τ 1 = 0 ,               0 ≤ λ < 2   μ m τ 2 = 0,5 ,         2   μ m ≤ λ < ∞

Considerando que a distância entre o sensor de radiação e superfície A 1 é L = 0,5 m, determine a irradiação medida pelo sensor.

Passo 1

As informações que temos são: as áreas das superfícies A 1 = 5cm2 e A 2 = 3 cm2 e a temperatura da fonte T 1 = 1.000 K. A fonte emite como um corpo negro, ou seja, emite radiação em todas as direções de forma uniforme. Também sabemos que a radiação passa um filtro, que tem um perfil de transmissividade:

τ λ = τ 1 = 0 ,               0 ≤ λ < 2   μ m τ 2 = 0,5 ,         2   μ m ≤ λ < ∞

O exercício nos pede para determinar a irradiação que chega no sensor.

Passo 2

Nosso primeiro passo é determinar o ângulo sólido. Vamos considerar que a radiação atinge a superfície 2 na direção normal, ou seja, o ângulo entre as superfícies é θ = 0 ° . Sabendo disso, o ângulo sólido é dado por:

ω = A 2 c o s θ L 2

ω = 3   c m 2 x c o s   0 50   c m 2

ω = 0,0012   s r

Agora iremos calcular a potência transmitida pelo filtro. Como o filtro não transmite de maneira uniforme, teremos que integrar a potência em relação ao comprimento de onda. Tudo bem?

A potência transmitida pode ser calculada por:

G λ , t r = ∫ 0 ∞ τ λ E λ , b d λ

Lembrando que usamos E λ , b porque nossa fonte emite radiação como um corpo negro. Continuando:

G λ , t r = ∫ 0 ∞ τ λ E λ , b d λ

G λ , t r = ∫ 0 2   μ m τ λ E λ , b d λ + ∫ 2   μ m ∞ τ λ E λ , b d λ

G λ , t r = ∫ 0 2   μ m 0 x E λ , b d λ + ∫ 2   μ m ∞ 0,5 x E λ , b d λ

G λ , t r = 0,5 x ∫ 2   μ m ∞ E λ , b d λ

G λ , t r = 0,5 x ∫ 0 ∞ E λ , b d λ - ∫ 0 2   μ m E λ , b d λ

Podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação do corpo negro f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para encontrar a potência transmitida:

G λ , t r = 0,5 x ∫ 0 ∞ E λ , b d λ - ∫ 0 2   μ m E λ , b d λ

G λ , t r = 0,5 x σ T 4 x f 0 - ∞ - f 0 - 2   μ m

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

2   μ m   x   1.000   K = 2.000   μ m . K → f = 0,066728

Então nossa potência fica:

G λ , t r = 0,5 x 5,67 x 10 - 8 x ( 1.000 4 ) x 1 - 0,066728

G λ , t r = 26.504,9   W / m 2

Passo 3

Agora que encontramos a potência transmitida vamos determinar a intensidade da radiação:

I = G π

I = 26.504,9   π

I = 8.436,8   W / m 2 . s r

Com a intensidade em mãos finalmente podemos determinar a irradiação que chega ao sensor:

Q ˙ = I x A 2 x c o s θ x ω

Q ˙ = 8.436,8 x 3 x 10 - 4 x c o s   0 x 0,0012  

Q ˙ = 3 x 10 - 3   W

Resposta

A irradiação que atinge o sensor é de Q ˙ = 3 x 10 - 3   W .

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