Enunciado

55 - Um pequeno disco com 5 mm de diâmetro está posicionado no centro de uma cúpula hemisférica isotérmica. O disco é difuso e cinza com uma emissividade de 0,7 e é mantido a 900   K . A cúpula hemisférica, mantida a 300   K , tem um raio de 100   m m e uma emissividade de 0,85 .

Calcule a potência radiante deixando uma abertura de diâmetro igual a 2   m m localizada na cúpula como mostrado.

Passo 1

A cúpula pode ser visualizada da seguinte maneira:

Onde ( 1 ) é o disco, ( 2 ) é abertura e ( 3 ) é o revestimento.

Passo 2

A potência radiante que sai da abertura é igual à soma da radiação que sai do disco e da irradiação na abertura do gabinete e é dada pela seguinte relação.

q a p = q 1 → 2 + G 2 A 2

Aqui,  A 2 é a área da seção transversal da abertura (área normal ao fluxo de energia radiante),  G 2 é a irradiação na abertura e  q 1 → 2 é a radiação que sai do disco.

A radiação que sai do disco pode ser escrita em termos de radiocidade do disco da seguinte maneira:

q 1 → 2 = 1 π J 1 ⋅ A 1 cos ⁡ θ 1 ω 2 → 1

Aqui,  J 1 é a radiosidade do disco,  A 1 é a área da seção transversal do disco,  θ 1 é o ângulo entre o normal e a linha que passa pela abertura e  ω 2 → 1 é o ângulo.

Passo 3

Podemos obter o ângulo sólido por meio da seguinte relação:

ω 2 → 1 = A 2 R 2

Aqui, R é o raio do recinto hemisférico.

A radiosidade do disco pode ser expressa da seguinte maneira:

J 1 = ε 1 σ T 1 4 + ρ 1 G 1

Aqui  ε 1 é a emissividade do disco,  E b é a potência emissiva do gabinete preto,  T 1 é a temperatura do disco, ρ 1 é a refletividade do disco,  G 1 é a irradiação do disco e  σ é a constante de Stephen Boltzmann.

Passo 4

A irradiação do disco e a irradiação na abertura do compartimento são iguais, o que pode ser expresso da seguinte forma:

G 1 = G 2

= E b T 3

= σ T 3 4

Passo 5

Vamos comigo para encontrar a relação geral entre refletividade, absortividade e transmissividade do disco da seguinte maneira:

ρ 1 + α 1 + τ 1 = 1

ρ 1 + ε 1 + 0 = 1

ρ 1 = 1 - ε 1

Aqui, a transmissividade é zero e, para a absorção e a emissividade do disco, é a mesma que o disco exibe um comportamento cinza.

Passo 6

Voltando a radiosidade do disco e fazendo as substituições pelos termos encontrados, passamos a ter:

J 1 = ε 1 σ T 1 4 + ρ 1 E b ( T 3 )

J 1 = ε 1 σ T 1 4 + 1 - ε 1 E b T 3 4

Dessa forma a potência radiante que sai da abertura que é dada por:

q a p = q 1 → 2 + G 2 A 2

Pode ser rescrita como:

q a p = 1 π σ ε 1 σ T 1 4 + 1 - ε 1 E b T 3 4 A 1 cos ⁡ θ 1 ⋅ A 2 R 2 + A 2 σ T 3 4

= 1 π σ ε 1 σ T 1 4 + 1 - ε 1 E b T 3 4 π 4 D 1 2 cos ⁡ θ 1 ⋅ π 4 D 2 2 R 2 + π 4 D 2 2 σ T 3 4

Agora venha comigo para realizar as substituições e obter a potência desejada.

= 1 π 5,67 × 10 - 8 × 0,7 900 4 + 1 - 0,7 300 4 × π 4 0,005 2 cos ⁡ 45 ° π 4 0,002 2 0,1 + π 4 0,002 2 5,67 × 10 - 8 300 4

= 3,63 × 10 - 5 + 1443 × 10 - 6

= 36,3 + 1443 × 10 - 6 W

q a p = 1479,3   μ W

Portanto, a potência radiante que sai da abertura é 1479,3   μ W .

Resposta

q a p = 1479,3   μ W

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