Enunciado

5.51 Após uma chuva, a concentração de sedimentos em um certo ponto de um rio aumenta à taxa de 100 partes por milhão (ppm) por hora. Além disso, a centração de sedimentos aumenta com a distância rio abaixo como resultado do recebimento de correntes tributárias; este aumento é de 30 ppm por quilômetro. Neste ponto, a corrente de água flui a 0,8   k m / h . Um barco é usado para inspecionar a concentração de sedimentos. O operador fica surpreso ao descobrir três taxas aparentes de variação de sedimentos quando o barco sobe o rio, ou se deixa levar pela corrente ou desce o rio. Explique fisicamente por que as diferentes taxas são observadas. Se a velocidade do barco é de 4 km/h, calcule as três taxas de variação.

Passo 1

Considerando o problema unidemensional e estado estacionário, a derivada substantiva se reduz a:

D c D t = u ∂ c ∂ x + ∂ c ∂ t

Passo 2

(i) No primeiro caso, vamos calcular a concentração se o barco estivesse subindo o rio:

u = 0,8 - 4

u = - 3,2   k m / h

Como representamos ppm? ( 1   p p m = 10 - 6 ). Sendo assim,

D c D t = - 3,2 30 × 10 - 6 + 100 × 10 - 6

D c D t = 4 × 10 - 6 / h

Passo 3

(ii) No segundo caso, vamos calcular a concentração se o barco estivesse a deriva (só a velociade do rio):

u = 0,8   h m / h

Como representamos ppm? ( 1   p p m = 10 - 6 ). Sendo assim,

D c D t = 0,8 30 × 10 - 6 + 100 × 10 - 6

D c D t = 124 × 10 - 6 / h

Passo 4

(iii) No terceiro caso, vamos calcular a concentração se o barco estivesse descendo o rio:

u = 0,8 + 4

u = 4,8   k m / h

Como representamos ppm? ( 1   p p m = 10 - 6 ). Sendo assim,

D c D t = 4.8 30 × 10 - 6 + 100 × 10 - 6

D c D t = 14 4 × 10 - 6 / h

Há diferença nas medidas porque a concentração varia em cada ponto do rio, já que há o aumento da concetração devido a outras correntes.

Resposta

Há diferença nas medidas porque a concentração varia em cada ponto do rio, já que há o aumento da concetração devido a outras correntes.

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