Enunciado

57 – Óleo é resfriado borrifando uma névoa do liquido quente através de ar frio a T ∞ = 27 ℃ . Duas gotas, cada uma com diâmetro D=100μm e temperatura 250°C, repentinamente colidem e coalescem em uma única gota. Determine a taxa de transferência de calor do óleo para o ar antes e depois da coalescência das gotas. A velocidade das gotas é V=5m/s.

Passo 1

A taxa de transferência de calor a ser determinada neste exercício está relacionada com a transferência de calor entre a gota de óleo quente com o ar frio, sendo que para a gota podemos considerar ela como uma esfera. Lembrando, que temos que achar o coeficiente de transferência de calor antes para o cálculo da taxa, e fazemos isso através do nº de Nusselt, Nu. Assim, para acharmos a taxa de transferência de calor vamos precisar de uma correlação de Nusselt, Nu, apropriada para uma gota em queda livre, sendo a gota uma partícula esférica.

No exercício também foi dito que ocorre coalescência de duas gotas e que precisamos de achar a taxa de transferência de calor para esta situação. Aqui, a única coisa diferente será o diâmetro da nova gota formada pela coalescência.

Passo 2

Para determinarmos a taxa de transferência de calor podemos usar a seguinte expressão:

q = h A S ( T g - T ∞ )

Onde,

-h é o coeficiente de transferência de calor;

-AS é a área superficial da gota;

-Tg é a temperatura da gota.

A área superficial da gota é dada pela área superficial de uma esfera

A s = A e s f e r a = 4 π r 2 = π D 2

Onde, D é diâmetro da gota

E o coeficiente de transferência de calor podemos achar pelo nº de Nusselt

N u = h D k

Onde, k é a condutividade térmica do ar

Isolando h

h = k N u D

Assim, a expressão para a taxa de transferência de calor é:

q = k N u D π D 2 ( T g - T ∞ )

q = π D k N u T g - T ∞                       E q 1

Passo 3

Para acharmos Nusselt, Nu, temos que usar uma correlação aplicada para gotas em queda livre.

Uma correlação para isso é a correlação de Ranz e Marshall:

N u = 2 + 0,6 R e 0,5 P r 1 3

Onde,

-Re é o número de Reynolds;

-Pr é número de Prandtl.

Lembrando que para Reynolds temos a seguinte expressão:

R e = V D v

Onde,

-V é a velocidade terminal da gota, para este caso;

-D é o diâmetro da gota;

-v é a viscosidade cinemática do ar.

Substituindo a relação de Reynolds na expressão de Nusselt:

N u = 2 + 0,6 V D v 0,5 P r 1 3           E q 2

Passo 4

Vamos agora encontrar os dados tabelados:

Pela Tabela A.4 do Incropera, a T=27º=300K, para o ar:

v = 15,89 x 10 - 6 m 2 s ; P r = 0,707 ; k = 26,3 x 10 - 3 W m K

Para o ar, a T=250ºC=523K:

v = 41,91 x 10 - 6 m 2 s ;   ρ a r = 0,6672 k g m 3

Para o óleo, a T=250ºC=523K, na Tabela A.5:

ρ ó l e o = 806,5 k g m 3

Passo 5

Agora que temos os dados e as expressões, podemos calcular.

Vamos começar calculado a taxa de transferência de calor antes da coalescência das gotas.

Antes da coalescência o diâmetro das gotas é D=100μm=100x10-6m

Calculando Nusselt pela Eq2:

N u = 2 + 0,6 5 m s 100 x 10 - 6   m 15,89 x 10 - 6 m 2 s 0,5 0,707 1 3  

N u = 5,0

Calculando q pela Eq1:

q = π 100 x 10 - 6   m 26,3 x 10 - 3 W m K ( 5,0 ) 250 - 27 K

q = 0,0092   W

Passo 6

Para a situação de coalescência das gotas, precisaremos do novo diâmetro e também da nova velocidade terminal da gota.

Vamos considerar que com a coalescência de duas gotas, o diâmetro da gota D dobra de valor, assim

D c o a l e s c e n c i a = D c o a = 2 D = 200 μ m

Vamos determinar, então, a nova velocidade terminal pela equação de Stokes:

V c o a = g D c o a 2 18 v a r ρ a r ( ρ g o t a - ρ a r )

Onde,

-Vcoa é a velocidade terminal da gota coalescida;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/s2;

-ρgota é densidade da gota, que é a densidade do óleo;

-ρar é a densidade do ar;

-ν é a viscosidade cinemática do ar.

Aplicando os valores

V c o a = 9,81 m s 2 200 x 10 - 6   m 2 18 41,91 x 10 - 6 m 2 s 0,6672 k g m 3 806,5 - 0,6672 k g m 3 = 0,63 m s

Passo 7

Agora o novo valor de Nusselt:

N u = 2 + 0,6 0,63 m s 2 00 x 10 - 6   m 15,89 x 10 - 6 m 2 s 0,5 0,707 1 3  

N u = 3,5

E a taxa de transferência de calor:

q = π 2 00 x 10 - 6   m 26,3 x 10 - 3 W m K ( 3,5 ) 250 - 27 K

q = 0,013   W

Resposta

Antes da Coalescência:

N u = 5 , 0

q = 0,0 092   W

Depois da Coalescência:

N u = 3 , 5

q = 0,013   W

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