Enunciado

58 - Considere uma superfície difusa e opaca com a absortividade espectral e a irradiação apresentadas a seguir:

Qual é a absortividade total da superfície para a irradiação especificada? Se a superfície se encontra a uma temperatura de 1250   K , qual é seu poder emissivo? Como a temperatura da superfície irá variar com o tempo, para as condições especificadas?

Passo 1

Passo 2

O fluxo radiante que é absorvido pela superfície pode ser calculado, já que temos no gráfico todas as variáveis. Vamos utilizar a integral utilizando o mesmo pensamento de dividir em 2 figuras o nosso desenho, um triângulo e um retângulo.

G a b s = ∫ 0 ∞ α G λ d λ

= α 1 ∫ 0 2   μ m G λ d λ + α 2 ∫ 2   μ m 5   μ m G λ d λ + α 3 ∫ 5   μ m ∞ G λ d λ

= 0 , 4 × 1 2 × 5000 × 2   + 0 , 8 × 5000 × ( 5 - 2 ) + 0  

G a b s = 14 000   W / m 2

Portanto, o fluxo radiante que é absorvido pela superfície é  14000   W / m 2 .

Passo 3

A irradiação total na superfície pode ser calculada por meio da integração da área em questão, entretanto, temos que a figura ao ser decomposta, torna-se um retângulo e um triângulos, por isso, vamos dividir em duas integrais, representando cada figura.

α = G a b s G

G = ∫ 0 ∞ G λ d λ

= 1 2 ∫ 0 2   μ m G λ d λ + ∫ 2   μ m 10   μ m G λ d λ

Repare que o termo 1 2 aparece, pois temos a área de um triângulo, que é dada pela área de um retângulo, dividido por 2 .

= 1 2 G λ ( 2 μ m - 0 μ m )   + G λ ( 10 μ m - 2 μ m )

= G λ + 8 G λ

Aqui, G λ é a irradiação no comprimento da onda λ .

G = 5000 + 8 × 5 000

G = 45 0 00   W / m 2

Portanto, a irradiação total na superfície é  45000   W / m 2 .

Passo 4

Precisamos agora, calcular a capacidade de absorção hemisférica total da superfície. Para isso iremos utilizar a relação entre os dois fluxos de energia presentes, já que essa absorção é uma fração da irradiação total que é absorvida.

α = G a b s G

= 14 00 45 0 00

= 0 , 311

Portanto, a capacidade de absorção hemisférica total da superfície opaca é  0 , 311 .

Passo 5

A emissividade hemisférica total da superfície é dada pela equação 12.38 como mostrado abaixo:

ε T = ∫ 0 ∞ ε λ λ , T E λ , b λ , T d λ E b ( T )

A equação para a emissividade hemisférica total pode ser escrita em termos de fatores de emissão da banda, conforme mostrado a seguir:

ε T = ε λ 1 F ( 0 → 2 ) + ε λ 2 F ( 2 → 5 )

Por meio do gráfico obtemos que:

ε 1 = 0 ; ε 2 = 0,6

Passo 6

No enunciado foi dado que T = 1 25 0   K e λ 1 = 2   μ m . Logo:

λ T = 2 5 00   μ m ⋅ K

Antes de continuarmos, precisaremos obter a fração da emissão total que é tabelada. Vamos consultar a Tabela 12.2, 'Funções de radiação do corpo negro' no valor de 2 5 00   μ m ⋅ K .

λ T = 2 5 00   μ m ⋅ K

F 0 → 2 = 0 , 162

Aqui, F 0 → 2 μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 2   μ m .

Para T = 1250   K e λ 2 = 5   μ m , temos:

λ T = 6250   μ m ⋅ K

F 0 → 5 = 0,757

Passo 7

Voltando a equação de emissividade em termos de fatores de emissão da banda, temos:

ε T = ε λ 1 F ( 0 → 2 ) + ε λ 2 F ( 2 → 5 )

= 0 , 4 × 0,162 + 0 , 8 [ 0,757 - 0,162 ]

ε = 0,5 4

Passo 8

c)

Já o fluxo radiante líquido para a superfície é dado por meio da relação:

α l i q = α G - E

Onde E é a radiação emitida e é dada por:

E = ε σ T s 4

= 0,54 × 5,67 × 10 - 8 × 1250 4

E = 74,751   k W / m 2

Dessa forma o fluxo radiante líquido é:

α l i q = 0 , 311 × 45 000 - 74751

α l i q = - 60756   W / m 2

O fluxo de calor para a superfície é negativo. Isso significa que o fluxo de calor sai da superfície. Portanto, a temperatura da superfície está decrescendo.

Resposta

G a b s = 14000   W / m 2

E = 74,751   k W / m 2

A temperatura da superfície está decrescendo.

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