Enunciado

67 - Para aumentar a transferência de calor entre dois fluidos escoando é proposta a inserção de uma aleta piniforme de alumínio 2024, com 100   m m de comprimento e 5   m m de diâmetro, através da parede que separa os dois fluidos. O pino é inserido até uma profundidade δ no fluido 1. O fluido 1 é ar com uma temperatura média de 10   ℃ e velocidade de 10   m / s . O fluido 2 é ar com uma temperatura média de 40   ℃ e velocidade de 3   m / s .

(a) Determine a taxa de transferência de calor do ar quente para o ar frio através do pino para d   =   50   m m .

(b) Represente graficamente a variação da taxa de transferência de calor com a distância de inserção, d . Existe uma distância de inserção ótima?

Passo 1

Vamos primeiro calcular a temperatura de filme para o ar 1 prosseguir com o problema.

T f = T s + T ∞ 2

= 10 + 25 2

= 17,5   ℃ = 290,5   K

Passo 2

Considere as propriedades do ar da tabela “Propriedades termo físicas de vários gases à pressão atmosférica” para T f = 2 90,5   K   precisaremos realizar a interpolação entra os valores de  250   K 300   K , para obter:

k = 0,02 554   W / m K

v = 1,504 × 10 - 5   W / m K

P r = 0,71 0

Passo 3

Vamos primeiro calcular a temperatura de filme para o ar 2 prosseguir com o problema.

T f = T s + T ∞ 2

= 4 0 + 25 2

= 32,5   ℃ = 3 0 5 , 5   K

Passo 4

Considere as propriedades do ar da tabela “Propriedades termo físicas de vários gases à pressão atmosférica” para T f = 305 , 5   K   precisaremos realizar a interpolação entra os valores de  30 0   K 3 5 0   K , para obter:

k 2 = 0,02 671   W / m K

v 2 = 1 , 644 × 10 - 5   W / m K

P r 2 = 0,70 6

Obtenha as propriedades do alumínio na tabela A.1 (Propriedades termo físicas dos sólidos metálicos selecionados) à temperatura de 300   K :

O valor da condutividade térmica do alumínio: k = 177   W / m ⋅ K

Passo 5

Vamos agora determinar o número de Reynolds para o ar 1:

R e D = V D v

= 10 m s × 0,0 0 5 m 1 , 504 × 10 - 5 m 2 s  

R e D 1 = 3320

Passo 6

Como o produto do número de Prandtl e do número de Reynolds são maiores que  0,2 , considere a correlação de Churchill e Bernstein para calcular o número de Nusselt do ar 1.

N u = 0,3 + 0,62 R e 0,5 Pr ⁡   1 3   1 + 0,4 P r 2 3 1 / 4 1 + R e 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 0,62 ( 3320 ) 0,5 ( 0,71 0 ) ⁡   1 3   1 + 0,4 0,71 0 2 3 1 / 4 1 + 3320 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 31,8698 1,138845 [ 1,0 49516 ]

= 29,7

Passo 7

Agora podemos calcular o coeficiente de transferência de calor do ar 1:

h = N u D × k D

= 29,7 × 0,02 554 0,0 05

= 152   W / m 2 K

Passo 8

Vamos agora realizar o mesmo processo, porém para o ar 2.

Logo, vamos determinar o número de Reynolds para o ar 2:

R e D = V D v

= 3 m s × 0,005 m 1 , 644 × 10 - 5 m 2 s  

R e D 2 = 912

Passo 9

Como o produto do número de Prandtl e do número de Reynolds são maiores que  0,2 , considere a correlação de Churchill e Bernstein para calcular o número de Nusselt do ar 2.

N u = 0,3 + 0,62 R e 0,5 Pr ⁡   1 3   1 + 0,4 P r 2 3 1 / 4 1 + R e 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 0,62 ( 912 ) 0,5 ( 0,70 6 ) ⁡   1 3   1 + 0,4 0,70 6 2 3 1 / 4 1 + 912 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 16,672114 1,13 92813 [ 1,0 2221557 ]

= 15,3

Passo 10

Agora podemos calcular o coeficiente de transferência de calor do ar 2:

h = N u D × k D

= 15,3 × 0,02671 0,005

= 81,5   W / m 2 ⋅ K

Passo 11

Considere a seguinte relação para a transferência de calor ao longo das hastes, quando duas aletas estiverem fixadas em sua base para a haste 1.

q 1 = M 1 tan ⁡ m 1 L c 1

Aqui,  M 1 m 1 são constantes e  L c l é o comprimento.

Considere a seguinte relação para a transferência de calor ao longo das hastes, quando duas aletas estiverem fixadas em sua base para a haste 2.

q 2 = M 2 tan ⁡ m 2 L c 2

Aqui, M 2  é a taxa de fluxo de massa,  m 2 é a massa e  L c 2 é o comprimento.

Considere a seguinte relação para constante:

M 1 = h 1 P k A c θ b i

= h 1 D k π D 2 × ( T b - T ∞ 1 )  

Aqui, o  h é o coeficiente de transferência de calor, D   é o diâmetro,  k é a condutividade térmica, T b é a temperatura e  T ∞ 1 é a temperatura da superfície.

Considere a seguinte relação para a constante  m 1 :

m 1 = h 1 P k A C

= 2 h 1 k D

Aqui, P é o perímetro e a  A c é a área.

m 1 = 2 152 177 × 0,005

= 2 152 0,885

= 26,2   m - 1

Calcule a constante  m 2 :

m 2 = h 1 P k A C

= 2 h 1 k D

= 2 81,5 0,885

= 19,2   m - 1

Passo 12

Agora precisamos calcular o comprimento de cada aleta:

L c 1 = L c 2 = d + D 4

Aqui,  d é o diâmetro e  D é o diâmetro.

L c 1 = L c 2

= 0,05 + 0,005 4

= 0,05 + 1,25 × 10 - 3

= 0,0512   m

Passo 13

Calcule a temperatura base usando a seguinte relação:

T b = h 1 T ∞ 1 tanh ⁡ m 1 L c 1 + h 2 T ∞ 2 tanh ⁡ m 2 L c 2 h 1 tanh ⁡ m 1 L c 1 + h 2 tanh ⁡ m 2 L c 2

Aqui, o  h 1 é o coeficiente de transferência de calor, L c 1 é o comprimento, m 1 é a massa e  T ∞ 2 é a temperatura da superfície.

= 152 × 10 × tanh ⁡ ( 26,2 × 0,05125 ) + 81,5 × 40 × tanh ⁡ ( 19,2 × 0,05125 ) 152 × tanh ⁡ ( 26,2 × 0,05125 ) + 81,5 × tanh ⁡ ( 19,2 × 0,05125 )

= 107,5478 + 272,56150 10,7547 + 6,814037

= 21,6   ℃

Passo 14

Aqui, como o calor que sai de uma haste entra na outra, considere a seguinte relação:

q 1 = - q 2

= h 1 D k π D 2 T b - T ∞ 1 tan ⁡ m 1 L c 1 = h 2 D k π D 2 T b - T ∞ 2 tan ⁡ m 2 L c 2

Aqui, h é o coeficiente de transferência de calor, D é o diâmetro,  k é a condutividade térmica, T b é a temperatura e  T ∞ 1 é a temperatura da superfície.

Passo 15

Calcule a transferência de calor do ar quente para o ar frio através da aleta do pino, usando a seguinte relação:

q = q 1

= - q 2

= h 1 D k π D 2 T b - T ∞ 1 tan ⁡ m 1 L c 1

= 152 × 0,005 × 177 × 3,14 × 0,005 2 21,6 - 10 tan ⁡ ( 26,2 × 0,05125 )

= 11,5982 × 0,00785 × 11,6 × 0,872331

= 0,92129   W

Portanto, a taxa de transferência de calor entre os fluidos é  0,92129   W .

Resposta

  1. A taxa de transferência de calor entre os fluidos é  0,92129   W .
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