Enunciado

7-104 Repita o Problema 7-103, mas com a distância r da fonte de som como um parâmetro independente adicional.

Passo 1

Vamos primeiro ver o que a questão 103 falava:

“A intensidade do som I é definida como a potência acústica por unidade de área que emana de uma fonte de som. Sabemos que I é função do nível de pressão do som P (dimensões de pressão) e das propriedades do fluido (densidade) e da velocidade do som c. “

E ai ela peda para usar o método das variáveis repetidas nas dimensões primárias com base na massa para gerar uma relação adimensional para I como função dos outros parâmetros.

O que a gente vai fazer de diferente aqui é adicionar um novo parâmetro independente, que é a distância r !

Passo 2

Pra começar, vamos listar as variáveis relavantes:

I = f ( P , c , ρ , r )

Daqui a gente já consegue ver o número de parâmetros, então:

n = 5

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

r = L ;       P = { m 1 L - 1 t - 2 }; c = L 1 t - 1 ; ρ = { m L - 3 } ; r = { L 1 }

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = 5 - 3 = 2

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 2 . Então vamos atrás deles!!

Para isso, precisamos decidir quais vão ser os 3   parâmetros repetidos.

r ,   ρ ,   c

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π 1 !!

Nosso novo π 1 será:

π 1 = 1 = { I × ρ a × c b r c }

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { m 1 t - 3 × m 1 L - 3 a L 1 t - 1 b L 1 c }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = { m 1 m 1 a }  

0 = 1 + a

a = - 1

Tempo:

t 0 = { t - 3 t - 1 b }

0 = - 3 - b

b = - 3

Comprimento:

L 0 = { L - 3 a L 1 b L 1 c }

0 = - 3 a + b + c

0 = 3 - 3 + c = 0

Então temos:

π 1 = 1 = { I × ρ - 1 × c - 3 r 0 }

Ficamos com:

π 1 = I ρ c 3

Agora vamos para o π 2   agora com P .

π 2 = 1 = { P × ρ a 2 × c b 2 × r c 2 }

π 2 = m 0 L 0 t 0 = { m 1 L - 1 t - 2 × m 1 L - 3 a 2 L 1 t - 1 b 2 × L 1 c 2 }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = { m 1 m 1 a 2 }  

0 = 1 + a 2

a 2 = - 1

Tempo:

t 0 = { t - 2 t - 1 b 2 }

0 = - 2 - b 2

b 2 = - 2

Comprimento:

L 0 = { L - 1 L - 3 a 2 L 1 b 2 L 1 c 2 }

0 = - 1 - 3 a 2 + b 2 + c 2

0 = - 1 + 3 - 2 + c 2

c 2 = 0

Então temos:

π 2 = 1 = { P × ρ - 1 × c - 2 r 0 }

Ficamos com:

π 2 = P ρ c 2

Agora vamos escrever a relação entre π 1 e π 2 :

I ρ c 3 = f P ρ c 2

Escrevendo analiticamente, fica:

I = c o n s t a n t e × P 2 ρ c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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