Enunciado

86 – Durante os meses de inverno frio, um escritório é parcialmente aquecido extraindo energia térmica armazenado no solo abaixo, usando uma bomba de calor. Durante o verão, o prédio é parcialmente refrigerado enviando energia térmica para o mesmo solo através de um ar condicionado. O sistema bomba de calor – ar condicionado cria uma periódica variação de temperatura T(0,t) na superfície do solo caracterizada por um amplitude de ΔT=30°C. Determine a profundidade da penetração térmica dentro do solo e o máximo fluxo de calor na superfície.

Passo 1

Neste exercício você terá que usar as expressões relacionadas a um aquecimento periódico. A ideia então é analisar as expressões associadas a este caso e encontrar uma forma de determinar o que foi pedido, que é a profundidade de penetração térmica.

Passo 2

Para determinarmos a profundidade de penetração térmica, dp, podemos usar a relação direta deste parâmetro com as propriedades do material e com a frequência angular, que é expresso como:

d p = 4 α ω             E q 1

Onde,

-dp é a profundidade de penetração térmica;

-α é a difusividade térmica do solo;

-ω é a frequência angular.

Vamos relembrar que a difusividade térmica de um material é expressa em termos do calor especifico, cp, condutividade térmica, k, e densidade, ρ, do material

α = k ρ c p

Vamos precisar então encontrar os dados para o solo.

Pela Tabela A.3 do Incropera, a 300K:

k = 0,52 W m K ;     ρ = 2050 k g m 3 ;   c p = 1840 J k g K

Conseguimos agora determinar a difusividade térmica

Aplicando os valores

α = 0,52   W m K 2050 k g m 3 1840 J k g K = 1,378 x 10 - 7 m 2 s

Passo 3

Para encontrarmos a frequência angular, nós podemos usar a seguinte relação:

ω = 2 π t

Onde,

-t é o tempo do período em segundos (s), que no caso será o tempo entre os meses frio de inverno e meses quente de verão.

Nós vamos usar a expressão anterior para a frequência, pois o período de tempo, t, que representa a frequência é dado pela máxima e mínima temperatura que a superfície do solo atinge, a máxima no verão e a mínima no inverno, por isso o período de tempo é entre os meses frio de inverno e os meses quente de verão.

Vamos considerar que o tempo entre os meses frio de inverno e os meses quente de verão é de 6 meses, assim o tempo em segundos será

t = 6   m e s e s 30   d i a s 24   h 3600   s = 1,55 x 10 7 s

Portanto, a frequência angular é

ω = 2 π s = 4,04 x 10 - 7 s - 1

Passo 4

Determinarmos a frequência angular e também a condutividade térmica, basta agora voltarmos na Eq1 e aplicarmos os valores para encontrarmos dp

d p = 4 α ω

d p = 4 1,378 x 10 - 7 m 2 s - 1 4,04 x 10 7 s - 1 = 2,34   m

Passo 5

Para determinarmos o fluxo de calor na superfície, podemos usar a expressão do fluxo de calor dada pela Lei de Fourier aplicada a aquecimentos periódicos com x=0 (superficie), cuja expressão é

q " = k ∆ T ω α   s e n   ( ω t + π / 4 )

Onde,

-q” é o fluxo de calor na superfície do solo;

-k é a condutividade térmica;

-ΔT é a variação de temperatura na superfície entre o inverno e o verão, então é a amplitude;

-α é a difusividade térmica do solo;

-ω é a frequência angular;

-t é o tempo do período.

Como ω=2π/t, assim

q " = k ∆ T ω α   s e n   ( 2 π t t + π / 4 )  

q " = k ∆ T ω α   s e n   ( 2 π + π / 4 )

q " = k ∆ T ω α   s e n   ( 9 π / 4 )

Aplicando os valores:

q " = ( 0,52   W / m K ) ( 303   K ) 4,04 x 10 - 7 s - 1 1,378 x 10 - 7 m 2 s - 1   s e n   ( 9 π / 4 ) = 190,73   W / m ²

Resposta

d p = 2,34   m

q " = 190,73   W / m ²

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