Enunciado

11 – Considere dois casos envolvendo escoamento paralelo de ar seco com V=1m/s, T ∞ = 45 ℃ , e pressão atmosférica sobre um prato isotérmico a TS=20°C. No primeiro caso, Rex,c=5x105, enquanto que no segundo caso o escoamento é levado a um estado de turbulência em x=0m. Em qual posição de x a espessura da camada limite térmica nos dois casos são iguais? Qual são os fluxos de calor local nesta posição para os dois casos?

Passo 1

Para este exercício vamos precisar das expressões para a espessura da camada limite térmica para o caso de escoamento laminar, que é o primeiro caso, e escoamento turbulento. Então com estas, nós vamos igualar as duas e assim conseguimos encontrar uma expressão matemática em função apenas de x.

Vamos lá fazer isso.

Passo 2

Para escoamento laminar, a expressão para o cálculo da espessura da camada limite térmica, δ, é:

δ = 5 x R e x

Onde, Rex é:

R e x = V x v

Onde, ν é a viscosidade cinemática.

No enunciado já foi dito que Reynolds para este caso é Rex=5,0x105.

Passo 3

Para escoamento turbulento, a espessura da camada limite térmica, δ, tem a seguinte equação:

δ = 0,37 x R e x - 1 5

Substituindo pela relação de x antes mostrada

δ = 0,37 x V x v - 1 5

δ = 0,37 x 4 5 V v - 1 5

Passo 4

Vamos agora igualar as duas expressões:

5 x R e x = 0,37 x 4 5 V v - 1 5

Vamos tentar isolar x

5 x x 4 5 = 0,37 V v - 1 5 R e x

x 1 - 4 5 = x 1 5 = 0,37 V v - 1 5 R e x 5

x = 0,37 V v - 1 5 R e x 5 5

Passo 5

Precisamos da viscosidade cinemática do ar na pressão atmosférica e T=45ºC=318K. Pela Tabela A.4 do Incropera:

v = 17,7 x 10 - 6 m 2 s

Passo 6

Aplicando os valores:

x = 0,37 1,0 m s 17,7 x 10 - 6 m 2 s - 1 5 5,0 x 10 5 5 5

x = 6943,5   m

Passo 7

Para o fluxo de calor nos dois casos podemos usar a seguinte expressão

q " = h x ( T ∞ - T S )

Onde, hx, que é o coeficiente de transferência e calor, podemos determinar pela relação da equação de Nusselt local:

N u x = h x x k = 0,332 R e x 0,5 P r 1 3

Onde,

-k é a condutividade térmica;

-Pr é o número de Prandtl.

Isolando hx

h x = 0,332 R e x 0,5 P r 1 3 k x

Passo 8

Vamos precisar dos valores de Pr e k, que podemos achar pela Tabela A.4:

k = 26,3 x 10 - 3 W m K ; P r = 0,707

Aplicando os valores para o primeiro caso:

h x = 0,332 5 x 10 5 0,5 0,707 1 3 26,3 x 10 - 3 W m K 6943,5   m = 7,92 x 10 - 4 W m 2 K

Aplicando os valores para o segundo caso:

Para o segundo caso, Rex é

R e x = 1 m s 6943,5   m 17,7 x 10 - 6 m 2 s = 3,92 x 10 9

Assim,

h x = 0,332 3,92 x 10 9 0,5 0,707 1 3 26,3 x 10 - 3 W m K 6943,5   m = 2,22 x 10 - 2   W m 2 K

Passo 9

Agora podemos calcular o fluxo de calor para os dois casos

Primeiro caso:

q " = ( 7,92 x 10 - 4   W / m ² K ) ( 45 - 20 ) K

q " = 0,02   W / m ²  

Segundo caso:

q " = ( 2,22 x 10 - 2 W / m ² K ) ( 45 - 20 ) K

q " = 0,55   W / m ²  

Resposta

x = 6943,5   m

Primeiro Caso:

q " = 0,02   W / m ²  

Segundo Caso:

q " = 0,55   W / m ²

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