Enunciado

Para permitir o cozimento de uma ampla gama de alimentos em fornos de micro-ondas, materiais de empacotamento metálicos e finos, que absorvem facilmente a energia das micro-ondas, foram desenvolvidos. Na medida em que o material de empacotamento é aquecido pelas micro-ondas, condução ocorre simultaneamente do empacotamento aquecido para o alimento frio. Seja o pedaço de carne esférico e congelado do Problema 5.27, que agora está embrulhado em um material de empacotamento fino que absorve micro-ondas. Determine o tempo necessário para a carne, que está bem próxima do material de empacotamento, atingir   T = 0 ° C , quando 70 % da potência do forno ( P   =   1   k W   t o t a l ) são absorvidos no material de empacotamento.

Passo 1

Faaalaa clóoviss... Vamos cair matando em cima dessa questãozinha aqui!! Bora juntos!!

Bom, o exercício começa falando de outro exercício laaa do começo do capítulo. Vamos ir dar uma olhada lá pra ver do que se tratava:

Tínhamos um pedaço de carne congelada, dentro de um micro-ondas. A diferença para o que temos agora é a existência de um pacotinho, em volta da carne. Temos algo assim:

Sem demasiados deboches aos meus dotes de paint.

O exercício pede então, que encontremos o tempo necessário para que o pacote e a carne cheguem a temperatura de 0 ° C , lembrando que no exercício 5.27 a temperatura inical da carne era - 20 ° C .

Bom, assim como no exercício 5.27, vamos adotar que o nosso hamburguer possui propriedades de gelo. A aí então, da tabela A.3:

ρ = 920 k g m 3 c p = 2040 J k g   . K k = 1,88 W m   . K

Bom, já estamos muito acostumados com isso. Pede tempo, de cara lembramos do tio Fourier:

F o = α t r 2

Mas então para isolar o tempo ali, precisamos achar o Fourier primeiro. Se assumirmos que F o < 0,2 ,   então podemos usar a seguinte relação para a transferência de calor em uma esfera:

q * = 1 2 π F o - π 4

Ok! Mas e esse q * ? Bom, ele representa a taxa de transferência de calor, e podemos invocar a seguinte relação:

q * = q s ' ' R k T s - T i

Oh jésus... e quem raios é esse outro q aí?? Ele representa a taxa de transferência de calor na superfície do plástico, ou seja, estamos considerando que toda energia passa do plástico para a carne.

Então, teremos que a taxa de transferência será dada pela potência dividida pela área que ela atinge. Algo mais ou menos assim:

q s ' ' = P A = 0,70 P 4 π R 2

Bom, temos todo o caminho para resolver. Vamos lá!

Passo 2

Mas para começar de fato, precisamos do raio. Sem desespero, podemos achar esse carinha bem fácil. Olha só:

m = ρ V = ρ 4 3 π R 3  

Isolando:

R 3 = 3 4 × π × 920 = 0,0637 m

Show de bola! Agora é só tacar-lhe o pal marco!

q s ' ' = 0,70 × 1000 4 π 0,0637 2 = 13728,06   W / m 2

Show demais. Então a nossa taxa q * :

q * = 13728,06 × 0,0637 1,88 0 - - 20 = 23,25

Passo 3

Então, bora achar o tio Fourier:

F o = π 2 q * + π 2 2  

Então:

F o = 0,00136 < 0,2

Como havíamos suspeitado.

Finalmente, podemos achar o tempo:

t = F o R 2 α

Lembrando que:

α = k ρ c p = 1,88 920 × 2040 = 10 - 6 m 2 / s

Então:

t = 0,00136 × 0,0637 2 10 - 6 = 5,52   s e g u n d o s

Rapaize! Micro top demais esse hahahaha! Mas é isso!! Até a próxima!

Resposta

Portanto, levará 5,52   segundos para atinfir a temperatura de 0 ° C .

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