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9.22 Ar escoa em um duto horizontal cilíndrico de diâmetro D = 100 mm. Em uma seção, a poucos metros da entrada, a espessura da camada­limite turbulenta é δ1 = 5,25 mm e a velocidade no escoamento central não viscoso é U1 = 12,5 m/s. Mais a jusante, a camadalimite tem espessura δ2 = 24 mm. O perfil de velocidade na camada limite é bem aproximado pela expressão de lei de potência 1/7. Determine a velocidade, U2, no escoamento central não viscoso na segunda seção e a queda de pressão entre as duas seções.

Passo 1

Usaremos duas equações muito importantes para começar o problema, envolvendo a equação do transporte de Reynolds:

Conservação de Massa:

∂ ∂ t ∫ C v ρ ⅆ v + ∫ C s p V → ⅆ A → = 0

Deslocamento da camada limite:

δ d e s l = ∫ 0 δ 1 - u U ⅆ y

Passo 2

Para este fluido, vamos assumir as seguinte relações:

ρ U A = C t ⅇ    

u U = y δ 1 7 =   η 1 / 7

d y δ = d η

Passo 3

Agora vamos calcular o quanto vai ser a espessura da camada limite que será desprezada:

δ d e s l = ∫ 0 δ 1 - u U ⅆ y =   ∫ 0 1 1 - η 1 / 7 δ d η = δ 8

Será o deslocamento tanto para d¹, tanto para d² 1/8 da camada:

δ 1 ' =   δ 1 8 = 5,25 8 = 0,65625   m m

δ 2 ' = δ 2 8 = 24 8 = 3   m m

Passo 4

Passo 5

Os valores de ambas as áreas serão calculadas descontando so valores dos deslocamentos:

A = π ( D - 2 δ ) 2 4

Para A¹:

A 1 = π ( D - 2 δ ¹ ) 2 4 =   π ( 100 - 2 . 0,65625 ) 2 4 = 7,65.10 - 3   m ²  

Para A²:

A 2 = π ( 100 - 2 . 3 ) 2 4 = 6,9.10 - 3   m ²  

Passo 6

Por fim, será possível calcular a velocidade 2, pela conservação de massa de um fluido, e em seguida aplicada na equação de bernoulli para calcular a queda de pressão:

U 2 = U 1 . A 1 A 2 = 12,5 . 7,65.10 - 3 6,9.10 - 3   = 13,85 m s

Δ p = ρ 2 U 2 2 - U 1 2 = 1,21 2 12,5 2 - 13,85 2 = - 21,52   P a

OBS: Será usado a massa específica do ar nas condições normais de temperatura (   T   =   20 ℃ )

Resposta

U 2 = 13,85 m s

Δ p = - 21,52   P a

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