Enunciado

Água deve escoar por gravidade de um reservatório para outro mais baixo através de um tubo de aço galvanizado, retilíneo e inclinado. O diâmetro do tubo é 50 mm e o comprimento total é de 250 m. Os dois reservatórios estão abertos para atmosfera. Trace um gráfico da diferença de elevação requerida Δz como uma função da vazão Q, para Q variando de 0 a 0,01 m3/s. Estime a fração de Δz decorrente de perdas menores.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Bem, para encontrar a faixa de valores para a elevação requerida entre os reservatórios, deve-se lembrar primeiramente da equação da energia:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Passo 2

Considerações a serem feitas::       P 1 =   P 2 = P a t m

Considerando o tanque muito grande, considera-se a velocidade nula, V 1 = 0

A profundidade pode ser analisada como z 1 - z 2 = Δ z

Segundo o autor, a perda de carga é dada pela soma da perda de carga menor com a menor, então:

h p = f L ∙ V ² D ∙ 2 g + K V ² 2 g

Reescrevendo a equação da perda de carga:

Z = α ∙ V 2 2 2 g + f L ∙ V 2 D ∙ 2 g + K V 2 2 g                                       =                                     Z =     V 2 2 g ( α + f L D + K e n t + K s a i )

O fator de atrito pode ser dado de duas formas diferentes:

1 f = - 2 ∙ l o g ⁡ ( e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f ), quando o escoamento for turbulento;

f = 64 R e , quando o escoamento for laminar.

E o número de Reynolds (Re) é dado pela expressão:

R e =   ρ ∙ V ∙ D μ

Por sua vez, a relação entre a vazão e a velocidade é:

V = 4 Q π D ²

Passo 3

Então, como todas as expressões interdependem entre si, ao variar os valores das vazões no reservatório, haverá uma variação em cadeia: primeiro da velocidade, depois do Re, depois do coeficiente de atrito, até a profundidade do tanque.

Valores a serem considerados:

L = 250 m | D = 5 0 m m   | α = 1 (escoamento turbulento) | μ = 1 ∙ 10 - 3 N ∙ s m 2 | ρ = 998 k g m 3 | K e n t = 0,5   e   K s a i = 1 |

(Tabela 8.2) e supondo a rugosidade e / D = 0 , 003 (Tabela 8.1)

Resposta

Colocando os valores ordenados no Excel com suas respectivas fórmulas, e utilizando a ferramenta Solve, é possível encontrar a variação de velocidades e os números de Reynolds correspondentes em relação à variação de vazão, como mostra a tabela a seguir:

O valor de f é proveniente de:

1 f = - 2 ∙ l o g ⁡ ( e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f ), pois o escoamento é turbulento (Re>2300);

Assim, o gráfico da variação da vazão versus a variação da profundidade fica:

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