Enunciado

Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R   =   75   m m . Calcule a velocidade de entrada uniforme, U , se a distribuição de velocidade através da saída é dada por

u = u m á x 1 - r 2 R 2

e u m á x = 3   m / s .

Passo 1

Nos foi dado no problema que:

Comprimento do tubo: L

Raio do tubo: R = 75   m m = 0,075   m .

Velocidade de entrada: U (velocidade uniforme)

A velocidade na saída:

u = u m á x 1 - r 2 R 2

A velocidade máxima: u m á x = 3   m / s

Passo 2

Vamos considerar o volume de controle como mostrado na figura. Temos também que assumir um fluxo constante e incompressível.

Com a hipótese feitas acima, podemos usar a equação de conservação de massa da seguinte forma:

∫ C S   V → ⋅ d A → = 0

E podemos reescrever da seguinte maneira:

∫ 1   V → ⋅ d A → + ∫ 2   V → ⋅ d A → = 0

Na seção de entrada, o vetor de velocidade e o vetor de área agem em direções opostas. Portanto, o sinal de  V → ⋅ d A → é negativo na seção de entrada.

Na seção de saída, o vetor de velocidade e o vetor de área agem nas mesmas direções. Portanto, o sinal de  V → ⋅ d A → é positivo na seção de saída.

Passo 3

Assim, temos que a equação da conservação de massa torna-se a seguinte:

- ∫ 1   U d A + ∫ 2   u d A = 0

Na entrada, temos que a velocidade e uniforme, assim a equação acima se torna:

∫ 2   u d A = U A 1

Temos que A 1 = π R 2 , e temos que d A = 2 π r d r , assim podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

∫ 2   u m á x 1 - r 2 R 2 2 π r d r = U π R 2

Passo 4

Da equação encontrada no passa 3, podemos isolar U e substituir u m á x por 3   m / s e integrar de 0 a R , para encontrar o valor de U .

U π R 2 = ∫ 0 R 3   1 - r 2 R 2 2 π r d r

U = 6 R 2 ∫ 0 R   1 - r 2 R 2 r d r

U = 6 R 2 ∫ 0 R   r - r 3 R 2 d r

U = 6 R 2   r 2 2 - r 4 4 R 2 0 R

U = 6 R 2 R 2 2 - R 4 4 R 2

U = 6 R 2 R 2 2 - R 2 4

U = 6 R 2 R 2 4

U = 3 2

U = 1,5   m / s

Assim, a velocidade de entrada é  1,5   m / s .

Resposta

U = 1,5   m / s

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