Enunciado

Água escoa com vazão mássica de 0,7   k g / s por um tubo anelar concêntrico a uma temperatura média de entrada e de saída de 20 e 80 ℃ , respectivemente. O tubo anelar concêntrico tem diâmetro interno e externo de 10   m m e 100   m m , respectivemente. A parede interna do tubo é mantida a uma temperatura de superfície constante de 120 ℃ , enquanto a superfície externa do tubo é isolada. Determine o comprimento do tubo anelar concêntrico.

Passo 1

Dados fornecidos:

Vazão mássica: m ˙ = 0,7   k g / s

Temperatura média de entrada: T i = 20 ℃

Temperatura média de saída: T e = 80 ℃

Temperatura da superfície interna do tubo: T s = 120 ℃

Diâmetro interno: D i = 10   m m = 0,01   m

Diâmetro externo: D e = 100   m m = 0,1   m

Para resolver a questão, começamos calculando a temperatura média da água com a seguinte relação:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída da água. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 20 ℃ + 80 ℃ 2

T m é d i a = 50 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades da água em  50 ℃ .

Condutividade térmica: k = 0,644   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,547 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4181   J / k g ⋅ K  

Número e Prandtl: P r = 3,55

Passo 2

Podemos obter uma relação para a velocidade média do fluxo. Assim temos:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

V m é d i a = 4 m ˙ ρ π D e 2 - D i 2

Aqui,  D e é o diâmetro externo do tubo anular,  D i é o diâmetro interno do tubo anular e  m ˙ é a taxa de fluxo de massa.

Com a velocidade média, podemos calcular o número de Reynolds usando a seguinte relação.

R e = ρ V m é d i a D e - D i μ

Substituindo a velocidade média, temos:

R e = ρ 4 m ˙ D e - D i μ ρ π D e 2 - D i 2

R e = ρ 4 m ˙ D e - D i μ ρ π D e - D i D e + D i

R e = 4 m ˙ μ π D e + D i

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 4 × 0,7   k g / s   0,547 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × π × 0,1   m + 0,01   m

R e = 14812,5

Como o número de Reynolds é superior a 10.000 , o fluxo através do anel é turbulento.

Passo 3

Agora, vamos calcular Nusselt, para isso, podemos usar a relação de Dittus-Boelter. Assim temos:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,4

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

N u = 0,023 × 14812,5 0,8 3,55 0,4

N u = 82,856

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção da seguinte maneira:

N u = h D e - D i k

h = N u k D e - D i

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 82,856 × 0,644   W / m ⋅ K   0,1   m - 0,01   m

h = 592,88   W / m 2 ⋅ K  

Passo 4

Agora, podemos calcular o comprimento do tubo de anel concêntrico usando a seguinte relação:

L = - m ˙ c p π D i h ln ⁡ T s - T e T s - T i

Aqui,  T s é a temperatura da superfície do tubo interno,  c p é o calor específico da água, T i é a temperatura média da agua na entrada, T e é a temperatura média da água na saída. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L = - 0,7   k g / s × 4181   J / k g ⋅ K   π × 0,01   m × 592,88   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 120 ℃ - 80 ℃ 120 ℃ - 20 ℃

L = 144   m

Portanto, o comprimento do tubo de anel concêntrico é  144   m .

Resposta

L = 144   m

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